已知点A（-1,0）,B（-1,1）和抛物线C：y^2=4x,O为坐标原点,过点A的动直线l叫抛物线C于M、P,直线MB交抛物线C于另一点Q 证明直线PO恒过一个定点

首先，根据抛物线的性质，我们可以将抛物线的方程改写为$x=\frac{y^2}{4}$。

由于直线$l$过点$A(-1,0)$，因此其方程为$y=kx+k$，其中$k$为$l$的斜率。

将$x=\frac{y^2}{4}$代入$y=kx+k$，得到方程$\frac{y^2}{4}=ky+k$，即$y^2-4ky-4k=0$。

由于直线$l$与抛物线$C$相交于点$M$和$P$，因此方程$y=kx+k$必有两个实根，即$\Delta=16k^2+16k\geq0$。

解得$k\geq-\frac{1}{2}$或$k\leq-1$。

当$k\geq-\frac{1}{2}$时，方程$y^2-4ky-4k=0$有两个实根，设它们为$y_1$和$y_2$，则根据韦达定理可知$y_1+y_2=4k$。

又因为点$M$和$P$在抛物线$C$上，所以它们的坐标必须满足方程$y^2=4x$。

将$y_1$和$y_2$代入$y^2=4x$，得到$x_1=\frac{y_1^2}{4}$和$x_2=\frac{y_2^2}{4}$。

由于$M$和$B$在直线$l$上，因此它们的坐标必须满足方程$y=kx+k$。

将$M$和$B$的坐标代入$y=kx+k$，得到$k=\frac{1}{x_M+1}=\frac{1}{x_B+1}=\frac{1}{0+1}=1$。

因此，$M$的坐标为$(x_1,kx_1+k)$，即$\left(\frac{y_1^2}{4},y_1+1\right)$；$B$的坐标为$(-1,1)$。

由于$Q$在直线$MB$上，因此它的坐标为$(x_Q,kx_Q+k)$，其中$x_Q$为方程$y^2=4x$和直线$MB$的交点的横坐标。

将直线$l$的方程$y=kx+k$代入方程$y^2=4x$，得到$4(kx+k)^2=16x$，即$(4k^2-1)x+8k^2=0$。

解得$x_Q=-\frac{2k^2}{1-4k^2}$。

因此，$Q$的坐标为$\left(\frac{y_Q^2}{4},y_Q\right)$，其中$y_Q=kx_Q+k=\frac{2k^3}{1-4k^2}+k$。

由于$P$和$Q$在抛物线$C$上，因此它们的坐标必须满足方程$y^2=4x$。

将$P$和$Q$的坐标代入$y^2=4x$，得到$\frac{y_P^2}{4}=x_P$和$\frac{y_Q^2}{4}=x_Q$。

因此，$y_P=\pm2\sqrt{x_P}$和$y_Q=\pm2\sqrt{x_Q}$。

由于$P$和$Q$在直线$l$上，因此它们的纵坐标之和为$2k$，即$y_P+y_Q=2k$。

将$y_P=\pm2\sqrt{x_P}$和$y_Q=\pm2\sqrt{x_Q}$代入$y_P+y_Q=2k$，得到$\pm2\sqrt{x_P}\pm2\sqrt{x_Q}=2k$。

因为$k\geq-\frac{1}{2}$，所以$k+1\geq\frac{1}{2}$，即$\sqrt{k+1}\geq\frac{1}{\sqrt{2}}$。

因此，$\pm\sqrt{x_P}\pm\sqrt{x_Q}=\frac{k}{\sqrt{k+1}}\geq\frac{1}{\sqrt{2}}$。

根据柯西-施瓦茨不等式，有$(\sqrt{x_P}+\sqrt{x_Q})^2\leq2(x_P+x_Q)$。

因此，$\sqrt{x_P}+\sqrt{x_Q}\leq\sqrt{2}\sqrt{x_P+x_Q}$。

又因为$x_P+x_Q=\frac{y_P^2+y_Q^2}{4}=\frac{(y_P+y_Q)^2-2y_Py_Q}{4}=k^2-\frac{8k^4}{(1-4k^2)^2}$。

因此，$\sqrt{x_P+x_Q}\leq\sqrt{k^2-\frac{8k^4}{(1-4k^2)^2}}$。

因为$k\geq-\frac{1}{2}$，所以$k^2\geq\frac{1}{4}$，$\frac{8k^4}{(1-4k^2)^2}\geq0$。

因此，$\sqrt{k^2-\frac{8k^4}{(1-4k^2)^2}}\geq\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$。

综上所述，$\sqrt{x_P}+\sqrt{x_Q}\leq\sqrt{2}\sqrt{x_P+x_Q}\leq\sqrt{2}\sqrt{k^2-\frac{8k^4}{(1-4k^2)^2}}\leq\sqrt{2}\frac{k}{\sqrt{k+1}}=\sqrt{2}(k+1-\frac{1}{\sqrt{k+1}})$。

因此，$x_P$和$x_Q$的和是一个定值，即$x_P+x_Q=\frac{y_P^2+y_Q^2}{4}=k^2-\frac{8k^4}{(1-4k^2)^2}$。

因此，$P$和$Q$的横坐标之和也是一个定值，即$x_P+x_Q=\frac{y_P^2+y_Q^2}{4}=k^2-\frac{8k^4}{(1-4k^2)^2}$。

因此，$P$和$Q$的纵坐标之和也是一个定值，即$y_P+y_Q=2k$。

因此，$P$和$Q$的坐标之和是一个定值，即$P+Q=(x_P+x_Q,y_P+y_Q)=(2k^2-\frac{8k^4}{(1-4k^2)^2},2k)$。

由于$B$和$O$在直线$l$上，因此它们的坐标之和也是一个定值，即$B+O=(-1,1)+(0,k)=(0,k+1)$。

因此，$P+Q+(B+O)=(2k^2-\frac{8k^4}{(1-4k^2)^2},2k)+(0,k+1)=(2k^2-\frac{8k^4}{(1-4k^2)^2},3k+1)$是一个定点。

又因为$P$和$Q$在抛物线$C$上，因此它们的坐标必须满足方程$y^2=4x$。

因此，$P+Q+(B+O)$也在抛物线$C$上，因此直线$PO$必过这个定点。

因此，直线$PO$恒过一个定点。