对称矩阵上三角元素的一维数组存储及下标变换公式(C语言实现)

在很多科学计算和工程应用中，我们经常需要处理对称矩阵。由于对称矩阵的特点，我们只需要存储其上三角（或下三角）元素即可节省存储空间。本文将介绍如何将一个n阶对称矩阵A的上三角元素按行序主序存放在一维数组B中，并给出i、j到k的下标变换公式，方便使用C语言进行相关计算。

下标变换公式：

k = (i-1)*n - (i-2)*(i-1)/2 + (j-i)

其中：

n为矩阵A的阶数
i和j分别表示矩阵A中元素的行和列索引 (1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ n)
k表示对应元素在一维数组B中的索引 (1 ≤ k ≤ n(n+1)/2)

公式推导：

对于对称矩阵中的元素A[i][j]，当i=j时，它位于矩阵的主对角线上。在一维数组B中，主对角线上的元素是从第1个元素开始连续存储的，因此其索引为：
```
k = (i-1)*n + (j-1) = (i-1)*n + (i-1) = (i-1)*(n+1)
```
当i≠j时，A[i][j]是矩阵A中的上三角元素。观察可知，对于第i行而言，其上三角元素的个数为n-i+1。所以在一维数组B中，第i行上三角元素的起始索引为：
```
k = (i-1)*n + (i-1) = (i-1)*(n+1)
```
而对于第j列而言，其位于第i行上三角元素的后面的第j-i个位置。因此，对于A[i][j]，其在一维数组B中的索引为：
```
k = (i-1)*(n+1) + (j-i) = (i-1)*n - (i-2)*(i-1)/2 + (j-i)
```

C语言实现：

int get_index(int i, int j, int n) {
  if (i > j) { // 如果是下三角元素，则将其映射到上三角
    int temp = i;
    i = j;
    j = temp;
  }
  return (i-1)*n - (i-2)*(i-1)/2 + (j-i);
}

int main() {
  int n = 4; // 矩阵阶数
  int a[4][4] = { // 对称矩阵A
    {1, 2, 3, 4},
    {2, 5, 6, 7},
    {3, 6, 8, 9},
    {4, 7, 9, 10}
  };
  int b[10]; // 用于存储上三角元素的一维数组

  // 将上三角元素存储到数组b中
  int k = 0;
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    for (int j = i; j <= n; j++) {
      b[k++] = a[i-1][j-1];
    }
  }

  // 测试下标变换公式
  printf('A[2][3] = %d, b[%d] = %d
', a[1][2], get_index(2, 3, n), b[get_index(2, 3, n)]);

  return 0;
}

总结：

本文介绍了将对称矩阵上三角元素存储在一维数组中的方法，并给出了下标变换公式。通过使用该公式，我们可以方便地在C语言中访问对称矩阵的元素，节省存储空间并提高程序效率。