常数变易法为什么可以求解一阶线性不齐次微分方程

常数变易法是一种特殊的解法，适用于一阶线性非齐次微分方程。这种方法的基本思想是，假设非齐次方程的解具有一定的形式，将待求解函数中的常数视为未知量，通过对常数的求解来得到非齐次方程的解。

具体来说，我们假设一阶线性非齐次微分方程的通解可以表示为：

y = c(x) * y_h(x) + y_p(x)

其中，y_h(x)是齐次方程的通解，c(x)是待求解的常数函数，y_p(x)是非齐次方程的一个特解。

我们将这个通解带入非齐次方程中，得到：

y' + p(x) * y = q(x)

c'(x) * y_h(x) + c(x) * y_h'(x) + y_p'(x) + p(x) * [c(x) * y_h(x) + y_p(x)] = q(x)

由于y_h(x)是齐次方程的通解，所以y_h'(x) + p(x) * y_h(x) = 0。将这个式子带入上面的方程中，得到：

c'(x) * y_h(x) + y_p'(x) + p(x) * y_p(x) = q(x)

我们将y_p(x)视为未知函数，c(x)视为未知常数，将上面的方程化为一个一阶线性非齐次微分方程。用一般的求解方法得到y_p(x)的一个特解，再用常数变易法求解c(x)，就可以得到非齐次方程的通解。

总之，常数变易法通过将待求解函数中的常数视为未知量，将非齐次方程化为一个一阶线性非齐次微分方程，从而求解非齐次方程的解。