解方程dy/dx+py+qx=0

这是一个一阶线性常微分方程，可以用常数变易法解决。

首先，将方程写成标准形式：

$$ \frac{dy}{dx} + p(x)y = -q(x) $$

其中 $p(x)$ 和 $q(x)$ 是已知函数。

我们设 $y(x)$ 的一个特解为 $y_1(x)$，则有：

$$ \frac{d}{dx}(y_1 e^{ \int p(x) dx }) = y_1' e^{ \int p(x) dx } + p(x) y_1 e^{ \int p(x) dx } = (y_1' + p(x) y_1) e^{ \int p(x) dx } $$

注意到 $y_1(x)$ 满足原方程，即：

$$ y_1' + p(x) y_1 = -q(x) $$

因此，上式可以改写为：

$$ \frac{d}{dx}(y_1 e^{ \int p(x) dx }) = -q(x) e^{ \int p(x) dx } $$

两边积分：

$$ y_1 e^{ \int p(x) dx } = -\int q(x) e^{ \int p(x) dx } dx + C $$

其中 $C$ 是常数。因此，$y_1(x)$ 的一个显式表达式为：

$$ y_1(x) = e^{ -\int p(x) dx } \left( -\int q(x) e^{ \int p(x) dx } dx + C \right) $$

接下来，我们考虑通解。设 $y(x) = y_1(x) + u(x)$，其中 $u(x)$ 是待定函数。将此代入原方程，得到：

$$ u'(x) e^{ \int p(x) dx } + u(x) p(x) e^{ \int p(x) dx } = 0 $$

移项并移项，得到：

$$ \frac{d}{dx}(u(x) e^{ \int p(x) dx }) = 0 $$

因此，$u(x) e^{ \int p(x) dx }$ 是一个常数，即：

$$ u(x) = Ce^{ -\int p(x) dx } $$

因此，原方程的通解为：

$$ y(x) = e^{ -\int p(x) dx } \left( -\int q(x) e^{ \int p(x) dx } dx + C \right) + Ce^{ -\int p(x) dx } $$

其中 $C$ 是任意常数。