求2^a-13^b-1=c!的所有正整数解

首先，观察题目中的式子，可以发现其中的因子都是指数为质数的形式，因此我们可以考虑对式子进行质因数分解。

由于 $2$ 和 $3$ 都是质数，因此我们可以将 $(2^a-1)$ 和 $(3^b-1)$ 分别分解为：

$$2^a-1=(2-1)(2^{a-1}+2^{a-2}+...+2+1)$$

$$3^b-1=(3-1)(3^{b-1}+3^{b-2}+...+3+1)$$

因此，原式可以写为：

$$(2-1)(2^{a-1}+2^{a-2}+...+2+1)(3-1)(3^{b-1}+3^{b-2}+...+3+1)=c!$$

化简后得到：

$$(2^{a-1}+2^{a-2}+...+2+1)(3^{b-1}+3^{b-2}+...+3+1)=\frac{c!}{2\cdot3}$$

注意到 $2^{a-1}+2^{a-2}+...+2+1=2^a-1$，因此上式可以进一步化简为：

$$(2^a-1)(3^b-1)=\frac{c!}{2\cdot3}$$

由于 $c!$ 是一个正整数，因此 $\frac{c!}{2\cdot3}$ 也必须是一个正整数，即 $2\cdot3$ 必须是 $c!$ 的因子。

因此，我们可以枚举 $c$，对于每个 $c$，求出 $\frac{c!}{2\cdot3}$，然后判断是否存在整数 $a$ 和 $b$，使得 $(2^a-1)(3^b-1)=\frac{c!}{2\cdot3}$。

对于判断是否存在 $a$ 和 $b$ 的问题，我们可以使用类似于求解 $a^2+b^2=c$ 的方法，即从小到大枚举 $a$ 和 $b$，当 $(2^a-1)(3^b-1)$ 大于 $\frac{c!}{2\cdot3}$ 时，停止枚举 $b$，进行下一个 $a$ 的枚举。

这样做的时间复杂度为 $O(c\log c)$，可以通过本题。