SSH 模型边界态能带的推导：一步步解析

以下是一个具体的 SSH 模型边界态能带的推导过程：

考虑一个包含 N 个晶胞的一维 SSH 模型，每个晶胞包含一个 A 原子和一个 B 原子。对于每个晶胞，A 原子与 B 原子以键强度 t1 连接，而相邻晶胞的 B 原子之间以键强度 t2 连接。

1. 薛定谔方程： 我们考虑波函数在第 n 个晶胞的 A 原子和 B 原子处的值分别为 An 和 Bn。根据离散薛定谔方程，我们可以写出：

EAn = t1Bn-1 + t2Bn

EBn = t1An + t2An+1

其中 E 是能量。

2. 平面波展开： 为了解决这个离散薛定谔方程，我们引入平面波展开。假设 An = Ae^(ikn) 和 Bn = Be^(ikn)，其中 k 是波矢，A 和 B 是归一化系数。

3. 能谱关系： 将平面波展开代入薛定谔方程，我们得到：

EA = t1B + t2B e^(-ik)

EB = t1A + t2A e^(ik)

我们可以通过解这个线性方程组得到能谱关系：

E^2 - (t1^2 + t2^2) - t1t2e^(-ik) - t1t2e^(ik) = 0

这个能谱关系描述了能带结构。

4. 边界条件： 为了考虑边界效应，我们在左边界添加一个额外的 A 原子和连接到它的 B 原子。这个边界连接导致波函数在边界处的相位与链条内部不同。因此，我们需要引入边界相位 λ，取值为 0 或 π。

当边界处的波函数相位为 0 时，我们有 An = Ae^(ikn) 和 Bn = Be^(ikn)。

当边界处的波函数相位为 π 时，我们有 An = Ae^(ikn) 和 Bn = -Be^(ikn)。

5. 边界态能带： 现在，我们可以通过求解能谱关系来找到能带结构。在适当的参数范围内，我们会发现存在两个能带，它们之间有能隙。能隙边缘附近出现的能量本征态就是边界态。

当边界相位 λ=0 时，能隙边缘附近不存在边界态。

当边界相位 λ=π 时，能隙边缘附近会出现边界态。

这就是具体的 SSH 模型边界态能带的推导过程。请注意，这是一个简化的模型，用来说明拓扑绝缘体中边界态的基本原理。实际的推导和计算可能涉及更复杂的数学和物理方法。详细的推导和计算可以在相关的学术文献和教材中找到。