线性代数证明三角形三条中线交于一点 - 详细解析

三角形的三条中线分别连接三个顶点和对边的中点，可以表示为：\r\n\tM1 = (A + B) / 2\r\n\tM2 = (B + C) / 2\r\n\tM3 = (C + A) / 2\r\n\r\n其中，A、B、C分别为三角形的三个顶点，M1、M2、M3分别为三角形的三条中线的交点。\r\n\r\n要证明M1、M2、M3三点共线，可以通过向量的线性组合来证明。\r\n\r\n设向量AM1、BM2、CM3分别表示从顶点A、B、C到中点M1、M2、M3的向量，即：\r\n\tAM1 = M1 - A = ((A + B) / 2) - A = (B - A) / 2\r\n\tBM2 = M2 - B = ((B + C) / 2) - B = (C - B) / 2\r\n\tCM3 = M3 - C = ((C + A) / 2) - C = (A - C) / 2\r\n\r\n由于三角形ABC是一个封闭图形，所以有向量和为零的关系：\r\n\tAM1 + BM2 + CM3 = 0\r\n\r\n代入上述向量表达式，得到：\r\n\t(B - A) / 2 + (C - B) / 2 + (A - C) / 2 = 0\r\n\r\n化简后可得：\r\n\t(B - A + C - B + A - C) / 2 = 0\r\n\r\n消去相同项，得到：\r\n\t0 = 0\r\n\r\n由此可见，向量AM1、BM2、CM3的和为零，证明了M1、M2、M3三点共线。\r\n\r\n因此，三角形的三条中线交于一点。