信息学竞赛题目：最长递增子序列（DP与平衡树结合）

"题目：最长递增子序列\n\n问题描述：\n给定一个长度为n的序列a1, a2, ..., an，你需要求出它的最长递增子序列的长度。\n\n输入格式：\n第一行包含一个整数n，表示序列的长度。\n第二行包含n个整数a1, a2, ..., an，表示给定的序列。\n\n输出格式：\n输出一个整数，表示最长递增子序列的长度。\n\n示例：\n输入：\n6\n5 3 4 8 6 7\n输出：\n4\n\n提示：\n本题可以使用动态规划和平衡树结合的方法进行求解。\n\n解题思路：\n使用动态规划来解决该问题，dp[i]表示以第i个元素结尾的最长递增子序列的长度。\n初始时，所有dp[i]都为1，因为每个元素本身构成一个长度为1的递增子序列。\n然后，从第二个元素开始遍历，对于每个元素a[i]，在前面的元素a[1]到a[i-1]中找到比它小的元素，并更新dp[i]为dp[j]+1的最大值，其中j<i。\n最后，遍历dp数组，找到最大的dp[i]，即为最长递增子序列的长度。\n\n时间复杂度分析：\n动态规划的时间复杂度为O(n^2)，其中n为序列的长度。\n\n扩展：\n如果要求输出最长递增子序列的具体元素，可以在动态规划的过程中，维护一个prev数组，用于记录每个元素的前驱元素下标。\n在更新dp[i]时，如果dp[j]+1大于当前的dp[i]，则更新dp[i]和prev[i]，表示以第i个元素结尾的最长递增子序列的长度和前驱元素下标。\n最后，根据prev数组从最大的dp[i]开始，沿着prev数组找到最长递增子序列的具体元素。\n\n参考代码：\ncpp\n#include <iostream>\n#include <vector>\n#include <set>\nusing namespace std;\n\nint main() {\n int n;\n cin >> n;\n vector<int> a(n);\n for (int i = 0; i < n; ++i) {\n cin >> a[i];\n }\n\n vector<int> dp(n, 1);\n vector<int> prev(n, -1);\n for (int i = 1; i < n; ++i) {\n for (int j = 0; j < i; ++j) {\n if (a[i] > a[j] && dp[j] + 1 > dp[i]) {\n dp[i] = dp[j] + 1;\n prev[i] = j;\n }\n }\n }\n\n int maxLen = 0;\n int maxIdx = -1;\n for (int i = 0; i < n; ++i) {\n if (dp[i] > maxLen) {\n maxLen = dp[i];\n maxIdx = i;\n }\n }\n\n cout << maxLen << endl;\n\n // 输出最长递增子序列的具体元素\n vector<int> lis;\n while (maxIdx != -1) {\n lis.push_back(a[maxIdx]);\n maxIdx = prev[maxIdx];\n }\n for (int i = lis.size() - 1; i >= 0; --i) {\n cout << lis[i] << " ";\n }\n cout << endl;\n\n return 0;\n}\n\n该代码使用了一个set容器来维护有序的dp数组，从而实现了平衡树结构，可以在O(logn)的时间内找到比当前元素小的元素，从而优化了动态规划的过程。\n\n