最长不下降子序列算法：C++实现及优化

{/'title/':/'最长不下降子序列算法：C++实现及优化/',/'description/':/'本篇文章介绍如何使用动态规划算法解决最长不下降子序列问题，并提供C++代码实现。文章还分析了算法的时间复杂度，并探讨了可能的优化方法。/',/'keywords/':/'最长不下降子序列, 动态规划, C++, 算法, 优化, 时间复杂度/',/'content/':/'///'设有由n个不相同的整数组成的数列，记为: a(1)、a(2)、……、a(n)且a(i)<>a(j) (i<>j)。例如3，18，7，14，10，12，23，41，16，24。若存在i1<i2<i3<… < ie且有a(i1)<a(i2)<… <a(ie)则称为长度为e的不下降序列。如上例中3，18，23，24就是一个长度为4的不下降序列，同时也有3，7，10，12，16，24长度为6的不下降序列。程序要求，当原数列给出之后，求出最长的不下降序列。//n//n输入描述//n//n第一行为n，表示n个数（10<=n<=10000）//n//n第二行n个整数，数值之间用一个空格分隔（1<=a(i)<=n）//n//n输出描述//n//n最长不下降子序列的长度//n//n希望能用c++编写代码内容：可以使用动态规划来解决这个问题。//n//n首先定义一个数组dp，dp[i]表示以第i个数结尾的最长不下降子序列的长度。//n//n对于dp[i]，遍历所有的j（0 <= j < i），如果a[j] <= a[i]，说明a[i]可以接在以a[j]结尾的不下降子序列后面，即dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)。//n//n最后遍历dp数组，找到最大值，即为最长不下降子序列的长度。//n//n以下是对应的C++代码实现：//n//ncpp//n#include <iostream>//n#include <vector>//n#include <algorithm>//n//nusing namespace std;//n//nint main() {//n int n;//n cin >> n;//n //n vector<int> nums(n);//n for (int i = 0; i < n; i++) {//n cin >> nums[i];//n }//n //n vector<int> dp(n, 1);//n //n for (int i = 1; i < n; i++) {//n for (int j = 0; j < i; j++) {//n if (nums[j] <= nums[i]) {//n dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);//n }//n }//n }//n //n int maxLength = *max_element(dp.begin(), dp.end());//n cout << maxLength << endl;//n //n return 0;//n}//n//n//n该算法的时间复杂度为O(n^2)，可以满足题目给出的数据范围。//n//n优化思路：//n//n1. 二分查找优化： 可以使用二分查找来优化内层循环，将时间复杂度降至O(n log n)。具体来说，我们可以维护一个递增的数组 tails，其中 tails[i] 表示长度为 i+1 的所有不下降子序列中最小的结尾元素。在遍历数组时，对于每个元素 nums[i]，我们可以使用二分查找找到 tails 中第一个大于等于 nums[i] 的元素，并将其替换为 nums[i]。这样可以保证 tails 数组始终保持递增，并且可以使用二分查找快速找到合适的插入位置。//n//n2. 动态规划优化： 可以使用动态规划来优化算法。我们可以定义一个数组 dp，dp[i] 表示以第 i 个数结尾的最长不下降子序列的长度。然后，我们可以遍历数组，对于每个元素 nums[i]，我们可以查找之前所有小于等于 nums[i] 的元素，并选择其中 dp 值最大的那个元素，将它的 dp 值加 1 作为 dp[i] 的值。这样可以避免重复计算，提高算法效率。//n//n3. 空间优化： 可以使用一个大小为 n 的数组来存储所有不下降子序列的长度，然后遍历数组，对于每个元素，可以找到之前所有小于等于该元素的元素，并选择其中长度最大的那个元素，将它的长度加 1 作为该元素的长度。这样可以减少空间复杂度。//n//n以上几种优化方法可以有效地提高最长不下降子序列算法的效率。//n/