NOIP1998 普及组 幂次方 - 详细解析及代码实现

NOIP1998 普及组 幂次方 - 详细解析及代码实现

题目描述

任何一个正整数都可以用 2 的幂次方表示。例如 137=2^7+2^3+2^0 。

同时约定方次用括号来表示，即 a^b 可表示为 a(b)。

由此可知，137 可表示为 2(7)+2(3)+2(0)

进一步：

7= 2^2+2+2^0 ( 2^1 用 2 表示)，并且 3=2+2^0。

所以最后 137 可表示为 2(2(2)+2+2(0))+2(2+2(0))+2(0)。

又如 1315=2^10 +2^8 +2^5 +2+1

所以 1315 最后可表示为 2(2(2+2(0))+2)+2(2(2+2(0)))+2(2(2)+2(0))+2+2(0)。

输入格式

一行一个正整数 n。

输出格式

符合约定的 n 的 0, 2 表示（在表示中不能有空格）。

样例 #1

样例输入 #1

1315

样例输出 #1

2(2(2+2(0))+2)+2(2(2+2(0)))+2(2(2)+2(0))+2+2(0)

提示

【数据范围】

对于 100% 的数据，1 ≤ n ≤ 2 × 10^4。

解题思路

题目要求将一个正整数表示为 2 的幂次方的和，同时按照约定的形式进行表示。

我们可以使用递归的方法来解决这个问题。

假设我们要表示的正整数为 n，我们首先找到最大的 k，使得 2^k ≤ n。然后，我们将 n 表示为 2^k 和 n-2^k 的和。如果 n-2^k = 0，那么表示结束；否则，我们继续将 n-2^k 表示为 2 的幂次方的和。

递归的边界条件是当 n=0 时，表示结束。

在递归的过程中，我们需要注意括号的使用。根据题目要求，我们只有在 2^k 的系数大于 1 时，才需要使用括号。

算法步骤

1. 读取输入的正整数 n；
2. 定义一个递归函数 solve(n)，其中参数 n 表示要表示的正整数；
3. 在 solve(n) 中，找到最大的 k，使得 2^k ≤ n；
4. 如果 n-2^k = 0，表示结束，返回 '2(0)'；
5. 如果 k=0，表示只有一个 2^0，返回 '2(0)'；
6. 否则，递归调用 solve(n-2^k)，得到表示 n-2^k 的字符串 s；
7. 如果 s 的第一个字符为 '2'，表示 n-2^k 为 2 的幂次方的和，我们将 s 包裹在括号中，返回 '2(' + s + ')'；
8. 否则，表示 n-2^k 只有一个 2^0，返回 '2' + s；
9. 在主函数中，调用 solve(n)，得到表示 n 的字符串 ans；
10. 输出 ans。

复杂度分析

假设 n 表示的正整数为 m 位数，那么递归的层数为 O(log_2 n) = O(m)。每一层递归的时间复杂度为 O(1)。因此，总的时间复杂度为 O(m)。

空间复杂度为 O(m)，即递归调用栈的最大深度。

代码实现 (Python)

def solve(n):
    if n == 0:
        return '2(0)'
    k = 0
    while (1 << k) <= n:
        k += 1
    k -= 1
    s = solve(n - (1 << k))
    if s[0] == '2':
        return '2(' + s + ')'
    else:
        return '2' + s

n = int(input())
ans = solve(n)
print(ans)

总结

本文详细讲解了 NOIP1998 普及组 幂次方 问题的解题思路和算法步骤，并提供了 Python 代码实现。通过递归的方式，将一个正整数表示成 2 的幂次方的和，并按照题目要求进行格式化输出。希望本文能够帮助读者更好地理解这道题目的解题方法。