求导公式应用：f(x) = x^5 * e^(6x) 的 101 次导数

我们可以使用多次应用求导公式来求解。

首先，计算 f(x) 的一阶导数： f'(x) = 5x^4 * e^(6x) + x^5 * 6e^(6x) = 5x^4 * e^(6x) + 6x^5 * e^(6x)。

然后，计算 f'(x) 的一阶导数： f''(x) = 20x^3 * e^(6x) + 5x^4 * 6e^(6x) + 24x^4 * e^(6x) + 6x^5 * 6e^(6x) = 20x^3 * e^(6x) + 30x^4 * e^(6x) + 24x^4 * e^(6x) + 36x^5 * e^(6x) = 20x^3 * e^(6x) + 54x^4 * e^(6x) + 36x^5 * e^(6x)。

继续计算 f''(x) 的一阶导数： f'''(x) = 60x^2 * e^(6x) + 20x^3 * 6e^(6x) + 108x^3 * e^(6x) + 54x^4 * 6e^(6x) + 144x^3 * e^(6x) + 36x^5 * 6e^(6x) = 60x^2 * e^(6x) + 120x^3 * e^(6x) + 108x^3 * e^(6x) + 324x^4 * e^(6x) + 144x^3 * e^(6x) + 216x^5 * e^(6x) = 60x^2 * e^(6x) + 228x^3 * e^(6x) + 324x^4 * e^(6x) + 216x^5 * e^(6x)。

我们可以观察到，在求 f(x) 的导数时，每一次求导都会使 x 的次数增加 1，而 e^(6x) 的系数会乘以一个常数（6）。

根据上述规律，我们可以得到 f(x) 的 101 次导数： f^(101)(x) = 101! * x^0 * e^(6x) + 0 * x^1 * e^(6x) + 0 * x^2 * e^(6x) + 0 * x^3 * e^(6x) + ... + 0 * x^101 * e^(6x) = 101! * e^(6x)。

因此，f(x) 的 101 次导数为 101! * e^(6x)。