利用对称性和奇偶性计算二重积分：x^2+y^2<=8 上的积分

首先，根据被积函数关于区域的奇偶性，我们可以得知被积函数是关于y轴对称的。因此，我们可以将积分区域D分成两个部分D1和D2，D1是在y轴右侧的半个区域，D2是在y轴左侧的半个区域。\n\n对于D1，我们可以将其表示为x的范围是[0, \u221A(8-y^2)]，y的范围是[-\u221A8, \u221A8]。\n对于D2，我们可以将其表示为x的范围是[-\u221A(8-y^2), 0]，y的范围是[-\u221A8, \u221A8]。\n\n因此，我们可以将原积分表示为两个部分的积分：\n\n\u222B\u222B_D (x^2+y^2+2x+3)dxdy = \u222B\u222B_D1 (x^2+y^2+2x+3)dxdy + \u222B\u222B_D2 (x^2+y^2+2x+3)dxdy\n\n对于D1，被积函数可以表示为：\n\n(x^2+y^2+2x+3) = (x^2+2x+1) + y^2 + 2 = (x+1)^2 + y^2 + 2\n\n对于D2，被积函数可以表示为：\n\n(x^2+y^2+2x+3) = (x^2+2x+1) + y^2 + 2 = (x+1)^2 + y^2 + 2\n\n因此，D1和D2的被积函数是相同的。\n\n根据对称性，D1和D2的积分结果也是相同的。因此，我们只需要计算一个部分的积分结果，然后乘以2即可。\n\n对于D1，积分结果为：\n\n\u222B\u222B_D1 (x^2+y^2+2x+3)dxdy = 2\u222B\u222B_D1 [(x+1)^2 + y^2 + 2]dxdy\n\n= 2\u222B[-\u221A8, \u221A8]\u222B[0, \u221A(8-y^2)] [(x+1)^2 + y^2 + 2]dxdy\n\n= 2\u222B[-\u221A8, \u221A8] [(\u221A(8-y^2)+1)^3 - (1+1)^3 + y^2(\u221A(8-y^2)+1)]dy\n\n= 2\u222B[-\u221A8, \u221A8] [(\u221A(8-y^2)+1)^3 - 8 + y^2\u221A(8-y^2) + y^2]dy\n\n利用换元法，令u = \u221A(8-y^2)，则du = -ydy，当y=-\u221A8时，u=0，当y=\u221A8时，u=0。\n\n= 2\u222B[0, 0] [(u+1)^3 - 8 + (8-u^2)u + (8-u^2)]du\n\n= 2\u222B[0, 0] [u^3 + 3u^2 + 3u - 8 + 8u - u^3 + 8 - u^2 + 8 - u^2]du\n\n= 2\u222B[0, 0] [8u + 16]du\n\n= 2[8u^2/2 + 16u] |[0, 0]\n\n= 2[0 + 0]\n\n= 0\n\n因此，整个积分的计算结果为0。\n\n答案：0