利用对称性和奇偶性计算二重积分 - x^2+y^2+2x+3 在圆形区域上的积分

首先，我们观察到区域D是以原点为中心的圆，半径为2√2。\n\n接下来，我们来分析被积函数(x^2+y^2+2x+3)关于区域D的奇偶性。将被积函数拆分为两部分：(x^2+2x)和(y^2+3)。\n\n首先，我们来看(x^2+2x)。将其写成完全平方的形式：(x^2+2x=(x+1)^2-1)。可以看出，(x^2+2x)是关于x轴对称的，即关于y轴奇函数。\n\n接下来，我们来看(y^2+3)。显然，(y^2+3)是关于x轴对称的，即关于y轴偶函数。\n\n综上所述，被积函数(x^2+y^2+2x+3)关于区域D是奇函数。\n\n根据对称性，我们可以将积分区域D分为四个等面积的部分，并只计算其中一个部分的积分结果，再乘以4。\n\n考虑第一象限的部分，我们可以将积分区域限定在第一象限的一个四分之一圆内，半径为2√2。设这个四分之一圆的面积为A。\n\n则原积分可以写成：(\iint\limits_{D}^{}(x^2+y^2+2x+3)dxdy=4\iint\limits_{A}^{}(x^2+y^2+2x+3)dxdy) \n\n由极坐标变换，(x=r\cos\theta)，(y=r\sin\theta)，面积元素(dxdy=rdrd\theta)。\n\n将积分区域A的极坐标范围转换：(0\leq r\leq 2\sqrt{2})，(0\leq \theta\leq \frac{\pi}{2})。\n\n将被积函数转换为极坐标形式：(x^2+y^2+2x+3=r^2+2r\cos\theta+3)。\n\n带入极坐标变换和被积函数的转换形式，积分式变为：(4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{2\sqrt{2}}(r^2+2r\cos\theta+3)rdrd\theta) \n\n首先计算(\int_{0}^{2\sqrt{2}}r^3dr=\left[\frac{1}{4}r^4\right]{0}^{2\sqrt{2}}=\frac{1}{4}(2\sqrt{2})^4-\frac{1}{4}(0)^4=8) \n\n然后计算(\int{0}^{\frac{\pi}{2}}2r^2\cos\theta rdrd\theta=2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}r^2\cos\theta dr\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}r d\theta=2\left[\frac{1}{3}r^3\cos\theta\right]{0}^{\frac{\pi}{2}}\left[\frac{1}{2}r^2\right]{0}^{2\sqrt{2}}=2\left(\frac{1}{3}(2\sqrt{2})^3-0\right)\left(\frac{1}{2}(2\sqrt{2})^2-0\right)=\frac{8}{3}(2\sqrt{2})^3) \n\n最后计算(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}3r drd\theta=3\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}r d\theta=3\left[\frac{1}{2}r^2\right]{0}^{2\sqrt{2}}=3\left(\frac{1}{2}(2\sqrt{2})^2-0\right)=6) \n\n将上述结果代入积分式，得到：(4(8+\frac{8}{3}(2\sqrt{2})^3+6)=32+\frac{32}{3}(2\sqrt{2})^3+24) \n\n化简得到：(32+32\sqrt{2}+24=56+32\sqrt{2}) \n\n因此，(\iint\limits{D}^{}(x^2+y^2+2x+3)dxdy=4\iint\limits_{A}^{}(x^2+y^2+2x+3)dxdy=4(56+32\sqrt{2})=224+128\sqrt{2}) \n\n所以，计算结果是224+128√2。\n\n答案选C. 56pi。