利用对称性和奇偶性计算二重积分 - 例题详解

首先，根据区域D的定义，我们知道D是一个半径为2的圆盘。由于被积函数中没有出现y的项，所以被积函数关于y轴对称。因此，我们可以利用关于y轴的对称性，将积分区域D分成两个部分D1和D2，其中D1是在y轴右侧的一个四分之一圆盘，D2是在y轴左侧的一个四分之一圆盘。//n//n接下来，我们需要确定被积函数的奇偶性。被积函数是$(x^2+y^2+2x+3)$，其中$x^2$和$y^2$是偶函数，$2x$是奇函数，$3$是常数。所以被积函数关于区域D是奇函数。//n//n利用区域D的对称性和被积函数的奇偶性，我们可以得到：//n$$/iint/limits_{D}^{}(x^2+y^2+2x+3)dxdy=4/iint/limits_{D1}^{}(x^2+y^2+2x+3)dxdy$$//n//n接下来，我们需要计算$4/iint/limits_{D1}^{}(x^2+y^2+2x+3)dxdy$。由于区域D1是一个四分之一圆盘，可以使用极坐标来计算。//n//n在极坐标下，区域D1的边界方程为$r=/sqrt{8}$，角度范围为$0/le/theta/le/frac{/pi}{2}$。被积函数在极坐标下的表达式为$(r^2+2r/cos/theta+3)r$。//n//n将被积函数转换为极坐标后，我们可以计算积分：//n$$4/iint/limits_{D1}^{}(x^2+y^2+2x+3)dxdy=4/int_{0}^{/frac{/pi}{2}}/int_{0}^{/sqrt{8}}(r^2+2r/cos/theta+3)rdrd/theta$$//n//n首先计算对r的积分：//n$$/int_{0}^{/sqrt{8}}(r^2+2r/cos/theta+3)rdr=/frac{r^4}{4}/biggr|{0}^{/sqrt{8}}+/frac{r^3/cos/theta}{3}/biggr|{0}^{/sqrt{8}}+/frac{3r^2}{2}/biggr|{0}^{/sqrt{8}}$$//n$$=/frac{8/sqrt{2}}{3}+/frac{8/sqrt{2}/cos/theta}{3}+12$$//n//n然后计算对$/theta$的积分：//n$$4/int{0}^{/frac{/pi}{2}}/left(/frac{8/sqrt{2}}{3}+/frac{8/sqrt{2}/cos/theta}{3}+12/right)d/theta=/frac{8/sqrt{2}/theta}{3}/biggr|{0}^{/frac{/pi}{2}}+/frac{8/sqrt{2}/sin/theta}{3}/biggr|{0}^{/frac{/pi}{2}}+12/theta/biggr|{0}^{/frac{/pi}{2}}$$//n$$=/frac{4/pi/sqrt{2}}{3}+/frac{8/sqrt{2}}{3}+6/pi$$//n//n因此，$/iint/limits{D}^{}(x^2+y^2+2x+3)dxdy=/frac{4/pi/sqrt{2}}{3}+/frac{8/sqrt{2}}{3}+6/pi$。//n//n最后，将计算结果化简：//n$$/frac{4/pi/sqrt{2}}{3}+/frac{8/sqrt{2}}{3}+6/pi=/frac{8/pi/sqrt{2}}{3}+6/pi+/frac{8/sqrt{2}}{3}$$//n$$=/frac{8(/pi/sqrt{2}+1)}{3}+6/pi$$//n//n因此，$/iint/limits_{D}^{}(x^2+y^2+2x+3)dxdy$的计算结果是$/frac{8(/pi/sqrt{2}+1)}{3}+6/pi$。//n//n选项中最接近计算结果的是C. 56pi。