积分区域图形的对称性及被积函数奇偶性应用：计算二重积分 ∬D(x^2+y^2+2x+3)dxdy

首先，我们观察到积分区域D是以原点为中心的一个圆，半径为2√2。

接下来，我们观察被积函数f(x, y) = x^2 + y^2 + 2x + 3。由于该函数中只包含x的偶次幂和常数项，且没有y的项，因此关于y轴对称。

根据积分区域的对称性，我们可以将积分区域D分为4个相等的部分，然后只计算其中一个部分的积分值，然后乘以4。

我们选取右上角部分，即x≥0且y≥0。在该部分中，被积函数f(x, y)关于区域D的奇偶性与关于y轴的奇偶性相同，即为偶函数。

因此，我们可以将被积函数f(x, y)在该部分进行极坐标变换。设x = rcosθ，y = rsinθ，其中0≤r≤2√2，0≤θ≤π/2。

计算雅可比行列式： |∂(x, y)/∂(r, θ)| = |cosθ -rsinθ| |sinθ rcosθ|

计算被积函数在极坐标下的表达式： f(x, y) = x^2 + y^2 + 2x + 3 = (rcosθ)^2 + (rsinθ)^2 + 2(rcosθ) + 3 = r^2(cos^2θ + sin^2θ) + 2rcosθ + 3 = r^2 + 2rcosθ + 3

根据极坐标变换的换元公式，我们有： dxdy = |∂(x, y)/∂(r, θ)|drdθ = |r||cosθ -rsinθ|drdθ = r|cosθ -rsinθ|drdθ

将被积函数和dxdy代入原积分式中，得到： ∬D(x^2+y^2+2x+3)dxdy = ∬D(r^2 + 2rcosθ + 3)r|cosθ -rsinθ|drdθ

根据极坐标下的积分区域D，我们有0≤r≤2√2，0≤θ≤π/2。

将积分区域D的极坐标范围代入积分式中，得到： ∬D(r^2 + 2rcosθ + 3)r|cosθ -rsinθ|drdθ = ∫[0, π/2]∫[0, 2√2](r^2 + 2rcosθ + 3)r|cosθ -rsinθ|drdθ

我们可以先计算内层积分，然后再计算外层积分。

计算内层积分： ∫[0, 2√2](r^2 + 2rcosθ + 3)r|cosθ -rsinθ|dr = ∫[0, 2√2](r^3|cosθ -rsinθ| + 2r^2cosθ|cosθ -rsinθ| + 3r|cosθ -rsinθ|)dr

我们观察到积分函数中的绝对值，可以根据积分区间的不同情况分别处理。

当r≥0时，|cosθ -rsinθ| = cosθ -rsinθ。 当r<0时，|cosθ -rsinθ| = -(cosθ -rsinθ) = -cosθ +rsinθ。

因此，内层积分可以拆分为两个部分： ∫[0, 2√2](r^3(cosθ -rsinθ) + 2r^2cosθ(cosθ -rsinθ) + 3r(cosθ -rsinθ))dr = ∫[0, 2√2](r^3cosθ - r^4sinθ + 2r^2cosθcosθ - 2r^3sinθcosθ + 3rcosθ - 3r^2sinθ)dr = ∫[0, 2√2](r^3cosθ - 2r^3sinθcosθ + 2r^2cos^2θ - 3r^2sinθ + 3rcosθ)dr

接下来，我们计算外层积分： ∫[0, π/2]∫[0, 2√2](r^3cosθ - 2r^3sinθcosθ + 2r^2cos^2θ - 3r^2sinθ + 3rcosθ)drdθ

我们可以先计算内层积分，然后再计算外层积分。

计算内层积分： ∫[0, 2√2](r^3cosθ - 2r^3sinθcosθ + 2r^2cos^2θ - 3r^2sinθ + 3rcosθ)dr = 1/4cosθr^4 - 1/2sinθcosθr^4 + 2/3cos^2θr^3 - sinθr^3 + 3/2cosθr^2

将内层积分的结果代入外层积分中，得到： ∫[0, π/2](1/4cosθ(2√2)^4 - 1/2sinθcosθ(2√2)^4 + 2/3cos^2θ(2√2)^3 - sinθ(2√2)^3 + 3/2cosθ(2√2)^2)dθ

计算外层积分： 1/4(2√2)^4∫[0, π/2]cosθdθ - 1/2(2√2)^4∫[0, π/2]sinθcosθdθ + 2/3(2√2)^3∫[0, π/2]cos^2θdθ - (2√2)^3∫[0, π/2]sinθdθ + 3/2(2√2)^2∫[0, π/2]cosθdθ = 1/4(2√2)^4sinθ∣[0, π/2] - 1/2(2√2)^4(1/2sin^2θ)∣[0, π/2] + 2/3(2√2)^3(1/2θ + 1/4sin2θ)∣[0, π/2] - (2√2)^3(-cosθ)∣[0, π/2] + 3/2(2√2)^2sinθ∣[0, π/2] = 1/4(2√2)^4 - 1/2(2√2)^4(1/2) + 2/3(2√2)^3(π/2 + 1/4(1)) - (2√2)^3(-1) + 3/2(2√2)^2 = 1/4(16√2)^2 - 1/2(16√2)^2(1/2) + 2/3(8√2)^3(π/2 + 1/4) + (8√2)^3 + 3/2(4√2)^2 = 1/4(32) - 1/2(32)(1/2) + 2/3(64)(π/2 + 1/4) + 64 + 3/2(8) = 8 - 8(1/2) + 256/3(π/2 + 1/4) + 64 + 12 = 8 - 4 + (256/3)(π/2 + 1/4) + 64 + 12 = 80 + (256/3)(π/2 + 1/4) = 80 + (128/3)(π + 1/2) = 80 + (128/3)π + 64/3

根据计算结果，我们得到： ∬D(x^2+y^2+2x+3)dxdy = 4∬D(x^2+y^2+2x+3)dxdy = 4(80 + (128/3)π + 64/3) = 320 + (512/3)π + 256/3

因此，计算结果为320 + (512/3)π + 256/3，选项D. 80π。