极限 lim(h→0)[sin(x+h)-sinx]/h 等于 lim(h→0)[2sin(h/2)cos(x+h/2)]/h 推导过程

首先，我们可以使用三角恒等式 sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB 将 sin(x+h) 展开，得到：

sin(x+h) = sinxcos(h) + cosxsin(h)

然后，我们可以将这个展开式代入到原始的极限表达式中：

lim(h→0)[sin(x+h)-sinx]/h = lim(h→0)[sinxcos(h) + cosxsin(h) - sinx]/h

我们可以将这个表达式分成两个部分：

lim(h→0)[sinxcos(h)]/h + lim(h→0)[cosxsin(h)]/h - lim(h→0)[sinx]/h

然后，我们可以利用三角函数的性质 sin(h)/h = 1 来化简第二个和第三个极限：

lim(h→0)[cosx*sin(h)]/h = cosx * lim(h→0)[sin(h)/h] = cosx * 1 = cosx

lim(h→0)[sinx]/h = sinx * lim(h→0)[1/h] = sinx * ∞ (这里的极限是无穷大)

因此，我们得到：

lim(h→0)[sin(x+h)-sinx]/h = lim(h→0)[sinxcos(h)]/h + lim(h→0)[cosxsin(h)]/h - lim(h→0)[sinx]/h

                    = cosx + ∞ - ∞

最后，我们得到极限表达式为：

lim(h→0)[sin(x+h)-sinx]/h = cosx + ∞ - ∞

这个表达式是一个不确定的形式，因为 ∞ - ∞ 是没有定义的。如果我们想要继续化简这个表达式，我们需要使用其他的方法，比如洛必达法则。