用宋步云写线性方程组求解

假设有线性方程组：

$$\begin{cases} 2x_1 + 3x_2 - x_3 = 7 \ x_1 - 2x_2 + 4x_3 = 4 \ -3x_1 + 4x_2 - 2x_3 = -10 \end{cases}$$

我们可以使用高斯消元法来求解该线性方程组。

首先，将该方程组表示成增广矩阵的形式：

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 3 & -1 & 7 \ 1 & -2 & 4 & 4 \ -3 & 4 & -2 & -10 \end{array}\right]$$

接下来，我们使用高斯消元法将增广矩阵化为阶梯形矩阵。具体步骤如下：

将第一行除以 $2$，得到：

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{7}{2} \ 1 & -2 & 4 & 4 \ -3 & 4 & -2 & -10 \end{array}\right]$$

将第二行减去第一行，得到：

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{7}{2} \ 0 & -\frac{7}{2} & \frac{9}{2} & -\frac{3}{2} \ -3 & 4 & -2 & -10 \end{array}\right]$$

将第三行加上 $3$ 倍的第一行，得到：

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{7}{2} \ 0 & -\frac{7}{2} & \frac{9}{2} & -\frac{3}{2} \ 0 & \frac{13}{2} & -\frac{7}{2} & -\frac{11}{2} \end{array}\right]$$

将第二行乘以 $-\frac{2}{7}$，得到：

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{7}{2} \ 0 & 1 & -\frac{9}{7} & \frac{3}{7} \ 0 & \frac{13}{2} & -\frac{7}{2} & -\frac{11}{2} \end{array}\right]$$

将第三行减去 $\frac{13}{2}$ 倍的第二行，得到：

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{7}{2} \ 0 & 1 & -\frac{9}{7} & \frac{3}{7} \ 0 & 0 & \frac{20}{7} & -\frac{50}{7} \end{array}\right]$$

将第三行除以 $\frac{20}{7}$，得到：

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{7}{2} \ 0 & 1 & -\frac{9}{7} & \frac{3}{7} \ 0 & 0 & 1 & -\frac{25}{4} \end{array}\right]$$

将第二行加上 $\frac{9}{7}$ 倍的第三行，得到：

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{7}{2} \ 0 & 1 & 0 & -\frac{6}{5} \ 0 & 0 & 1 & -\frac{25}{4} \end{array}\right]$$

将第一行减去 $\frac{3}{2}$ 倍的第二行加上 $\frac{1}{2}$ 倍的第三行，得到：

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & \frac{19}{10} \ 0 & 1 & 0 & -\frac{6}{5} \ 0 & 0 & 1 & -\frac{25}{4} \end{array}\right]$$

现在，增广矩阵已经变成了阶梯形矩阵。我们可以通过回代法求解该线性方程组的解。具体步骤如下：

从最后一行开始，解出 $x_3$：

$$x_3 = -\frac{25}{4}$$

将 $x_3$ 的值代入第二行，解出 $x_2$：

$$x_2 = -\frac{6}{5}$$

将 $x_3$ 和 $x_2$ 的值代入第一行，解出 $x_1$：

$$x_1 = \frac{19}{10}$$

因此，该线性方程组的解为 $x_1 = \frac{19}{10}$，$x_2 = -\frac{6}{5}$，$x_3 = -\frac{25}{4}$。