二进制数组逆序对最大值 - 算法详解与 C++ 实现 - 常规

二进制数组逆序对最大值 - 算法详解与 C++ 实现

问题描述: 给定一个长度为 n 的二进制数组，您最多只能对其执行一次操作：

可以选择任何元素并将其翻转：将 0 变为 1，或者将 1 变成 0。在执行最多一次该操作后，请问数组最多可以有多少个逆序对？

注:

二进制数组指的是仅包含 0 和 1 的数组。
数组中的逆序对个数指的是满足 i<j 且 ai>aj 的下标 (i,j) 对的数量。

输入格式: 第一行一个整数 n，表示数组的长度。第二行 n 个整数 a1,a2,…,an 用来描述这个二进制数组。

输出格式: 一行一个整数，表示在最多进行一次操作之后可能得到的最多的逆序对个数。（这意味着你也可以一次操作都不执行）。

输入样例 1: 4 1 0 1 0

输出样例 1: 3

输入样例 2: 6 0 1 0 0 1 0

输出样例 2: 7

样例解释: 对于第一个样例，逆序对最初由下标对 (1,2)、(1,4)、(3,4) 构成，总共 3 个，这已经是可能的最大值。对于第二个样例，逆序对最初由下标对 (2,3)、(2,4)、(2,6)、(5,6) 构成，总共 4 个。但是，通过翻转第一个元素，数组变为 1,1,0,0,1,0，它具有由下标对 (1,3)、(1,4)、(1,6) 、(2,3)、(2,4)、(2,6)、(5,6) 构成的总共 7 个逆序对，这是可能的最大值。

数据范围及约定: 对于 30% 的数据，1≤n≤10 对于 60% 的数据，1≤n≤500 对于 100% 的数据，1≤n≤2×10^5，0≤ai≤1

解题思路

首先，我们可以观察到，对于一个二进制数组，只需要将其中的某一个元素进行翻转，即将 0 变为 1，或将 1 变为 0，就可以改变数组中的逆序对的数量。那么，我们可以遍历数组的每一个元素，分别将其翻转，然后计算数组中逆序对的数量，最后取所有情况中逆序对数量的最大值即可。

具体实现时，我们可以使用一个变量 count 来记录翻转后数组中逆序对的数量。对于数组中的每一个元素，如果它的值为 1，那么逆序对的数量就等于数组中值为 0 的元素的个数；如果它的值为 0，那么逆序对的数量就等于数组中值为 1 的元素的个数。在遍历数组的过程中，我们可以使用两个变量 zero 和 one 来记录数组中值为 0 和 1 的元素的个数。然后，我们根据当前元素的值和 zero、one 的值，计算逆序对的数量并更新 count 的值。最后，我们将 count 的值与之前的最大值进行比较，取最大值作为最终的答案。

算法步骤

读取输入的数组长度 n，并创建一个长度为 n 的数组 binary 来保存输入的二进制数组。
初始化变量 count 为 0，分别初始化变量 zero 和 one 为 0。
遍历数组 binary 的每一个元素：
- 如果当前元素的值为 1，将 one 的值加 1。
- 如果当前元素的值为 0，将 zero 的值加 1，并将 count 的值加上 one 的值。
将 count 的值与之前的最大值进行比较，取最大值作为最终的答案。
输出最终的答案。

算法实现

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    vector<int> binary(n);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> binary[i];
    }

    int count = 0;
    int zero = 0, one = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        if (binary[i] == 1) {
            one++;
        } else {
            zero++;
            count += one;
        }
    }

    int max_count = max(count, n - count);
    cout << max_count << endl;

    return 0;
}

复杂度分析

该算法遍历了一次数组，时间复杂度为 O(n)，其中 n 为数组的长度。空间复杂度为 O(n)，需要使用一个长度为 n 的数组来保存输入的二进制数组。