神奇的排列：算法详解及C++代码实现

问题描述

对于一个长度为 2n 的排列 p_1,p_2,...,p_{2n}，定义数组 s 为 p 中两两分组以后每个组的数字之和，即 s_i=p_{2i-1}+p_{2i}，可以发现 s 的长度为 n。若 s 是一个连续严格递增数列，则我们称排列 p 为一个神奇的排列。

现在我们给定一个数字 n，请给出一个长度为 2n 可能的神奇的排列 p。

输入格式

第一行一个数字 T，代表有 T 组数据。

接下来 T 行，每行一个整数 N。

输出格式

如果存在满足题意的排列，请输出 YE5，并且在下一行输出一个可能的排列。如果不存在，请输出 N0。

样例 #1

样例输入 #1

3
1
2
5

样例输出 #1

YE5
2 1
N0
YE5
6 3 8 2 10 1 7 5 9 4

提示

数据范围

对于 10% 的数据，N 全为偶数。
对于另外 30% 的数据，T=1。
对于 60% 的数据，1≤T≤50，N≤500。
对于 100% 的数据，1≤T≤500，1≤N≤10^5，且每组数据中，∑N≤10^5。

提示

排列：长为 N 的排列指的是由 1 ~ N 组成的数列，比如 N=3 的排列有：1 2 3、1 3 2、2 1 3、2 3 1、3 1 2、3 2 1等共 6 个。

连续严格递增数列：对于整个数列都有第 i 个数字 a_i 和第 i+1 个数字 a_{i+1}，a_{i+1}=a_i+1。

算法分析

1. 奇偶性判定： 首先，我们观察到如果 N 是奇数，则无法构造出满足题意的排列。这是因为，如果 N 是奇数，则 2N 是奇数，排列 p 的长度为奇数，无法进行两两分组。因此，当 N 为奇数时，直接输出 N0。

2. 构造神奇排列： 当 N 为偶数时，我们可以构造一个神奇的排列。具体方法如下：

   • 初始化一个长度为 2N 的数组 p，将 1 到 2N 的数字依次填入。
   • 将 p 中的奇数位置和偶数位置的元素进行交换。

3. 输出结果： 构造完排列 p 后，输出 YE5 和排列 p。

C++ 代码实现

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

int main() {
    int T;
    cin >> T;
    
    while (T--) {
        int N;
        cin >> N;
        
        // 如果 N 为奇数，不存在满足题意的排列
        if (N % 2 != 0) {
            cout << 'N0' << endl;
            continue;
        }
        
        // 构造一个满足题意的排列
        vector<int> p(2 * N);
        for (int i = 0; i < 2 * N; i++) {
            p[i] = i + 1;
        }
        for (int i = 0; i < 2 * N; i += 2) {
            swap(p[i], p[i + 1]);
        }
        
        // 输出排列
        cout << 'YE5' << endl;
        for (int i = 0; i < 2 * N; i++) {
            cout << p[i] << ' ';
        }
        cout << endl;
    }
    
    return 0;
}

总结

本文详细介绍了“神奇的排列”问题，并给出了一个简单的算法和 C++ 代码实现。通过分析问题本质，我们可以高效地构造满足条件的排列。