欧几里得范数：定义、性质及应用 - 机器学习与统计学中的重要概念

欧几里得范数（Euclidean norm），又称为2-范数（2-norm），是向量空间中最常见的范数之一。对于一个n维向量x=(x1, x2, ..., xn)，其欧几里得范数定义为：\n\n||x||₂ = √(x₁² + x₂² + ... + xn²) \n\n其中，√表示开方运算。欧几里得范数表示了向量的长度或大小，它的值为非负实数。在二维平面中，欧几里得范数就是向量的长度，而在三维空间中，欧几里得范数表示了从原点到向量所在点的距离。\n\n欧几里得范数有很多重要的性质，例如：\n\n1. 非负性：对于任意向量x，有||x||₂ ≥ 0，并且等号成立当且仅当x为零向量。\n\n2. 齐次性：对于任意标量α和向量x，有||αx||₂ = |α| ||x||₂。\n\n3. 三角不等式：对于任意向量x和y，有||x + y||₂ ≤ ||x||₂ + ||y||₂。\n\n4. 等价性：对于向量空间R^n中的任意两个范数||·||₁和||·||₂，存在正常数c₁和c₂，使得对于所有向量x，有c₁||x||₁ ≤ ||x||₂ ≤ c₂||x||₁。\n\n欧几里得范数在机器学习和统计学中经常被使用，例如作为损失函数的一部分，用于衡量模型的性能或正则化模型参数等。它具有很好的几何性质，常常能够很好地反映向量的重要特征。