2的N次方之和的公式

2的N次方之和的公式是：

2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^(N-1) = 2^N - 1

其中，N为任意正整数。这个公式可以用数学归纳法证明。

当N=1时，左边等于2^0=1，右边等于2^1-1=1，成立。

假设当N=k时，上式成立，即：

2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^(k-1) = 2^k - 1

那么当N=k+1时，左边变成：

2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^(k-1) + 2^k

可以把最后一项2^k用上式来替换：

2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^(k-1) + (2^(k+1) - 1)

把前面的项合并，得到：

2^(k+1) - 1

因此，当N=k+1时，上式也成立。

综上所述，对于任意正整数N，2的N次方之和的公式为2^N-1。