2023年3月GESP二级真题 C++ 编程二：百鸡问题解题思路与代码实现

比赛题目

时间限制：C/C++ 1000MS，其他语言 2000MS 内存限制：C/C++ 256MB，其他语言 512MB 分数：25

描述

'百鸡问题'是出自我国古代《张丘建算经》的著名数学问题。大意为：“每只公鸡 5 元，每只母鸡 3 元，每 3 只小鸡 1 元；现在有 100 元，买了 100 只鸡，共有多少种方案？”

小明很喜欢这个故事，他决定对这个问题进行扩展，并使用编程解决：如果每只公鸡 x 元，每只母鸡 y 元，每 z 只小鸡 1 元；现在有 n 元，买了 m 只鸡，共有多少种方案？

输入描述

输入一行，包含五个整数，分别为问题描述中的 x、y、z、n、m。约定 1≤ x, y, z ≤10，1≤ n, m ≤1000。

输出描述

输出一行，包含一个整数 C，表示有 C 种方案。

用例输入 1

5 3 3 100 100 用例输出 1

4 用例输入 2

1 1 1 100 100 用例输出 2

5151

思路：

根据题目描述，我们可以得到以下等式：

公鸡数量：x * num_cock
母鸡数量：y * num_hen
小鸡数量：(n - x * num_cock - y * num_hen) / z

其中，num_cock + num_hen + num_chick = m，且 num_cock + num_hen <= m

我们可以使用三层循环来穷举所有可能的方案，然后判断是否满足上述等式。

代码实现如下：

#include <iostream>

using namespace std;

int main() {
    int x, y, z, n, m;
    cin >> x >> y >> z >> n >> m;

    int count = 0;  // 方案数量

    for (int num_cock = 0; num_cock <= m; num_cock++) {
        for (int num_hen = 0; num_hen <= m - num_cock; num_hen++) {
            int num_chick = (n - x * num_cock - y * num_hen) / z;
            if (num_chick >= 0 && num_cock + num_hen + num_chick == m && (n - x * num_cock - y * num_hen) % z == 0) {
                count++;
            }
        }
    }

    cout << count << endl;

    return 0;
}

时间复杂度分析：

假设 m = 1000，则需要进行两层循环共计 1000 * 1000 次，每次计算需要 O(1) 的时间，因此总的时间复杂度为 O(m^2)。由于 m 最大为 1000，因此算法的时间复杂度是可以接受的。