2023年3月GESP二级真题 C++ 编程二：百鸡问题 - 解题思路与代码实现

"百鸡问题"是出自我国古代《张丘建算经》的著名数学问题。大意为："每只公鸡 5 元，每只母鸡 3 元，每 3 只小鸡 1 元；现在有 100 元，买了 100 只鸡，共有多少种方案？"\n小明很喜欢这个故事，他决定对这个问题进行扩展，并使用编程解决：如果每只公鸡 x 元，每只母鸡 y 元，每 z 只小鸡 1 元；现在有 n 元，买了 m 只鸡，共有多少种方案？\n\n输入描述\n\n输入一行，包含五个整数，分别为问题描述中的 x、y、z、n、m。约定 1≤ x, y, z ≤10，1≤ n, m ≤1000。\n\n输出描述\n\n输出一行，包含一个整数 C，表示有 C 种方案。\n\n用例输入 1\n\n5 3 3 100 100\n用例输出 1\n\n4\n用例输入 2\n\n1 1 1 100 100\n用例输出 2\n\n5151\n\n解题思路：\n\n根据题目描述，每只公鸡 x 元，每只母鸡 y 元，每 z 只小鸡 1 元，现在有 n 元，买了 m 只鸡，求有多少种方案。\n\n我们可以使用三重循环来枚举公鸡、母鸡和小鸡的数量。假设公鸡的数量为 i，母鸡的数量为 j，小鸡的数量为 k，则有以下三个方程：\ni + j + k = m （总鸡的数量）\nx * i + y * j + z * k = n （总花费的金额）\n\n我们可以固定公鸡的数量 i，然后在剩下的总鸡的数量 m - i 的基础上，枚举母鸡的数量 j。然后通过总花费的金额 n 减去公鸡和母鸡的花费，得到小鸡的数量 k。\n当满足以上三个方程时，即找到了一种购买方案。统计所有满足条件的方案数即可。\n\nC++代码实现如下：\n\ncpp\n#include <iostream>\nusing namespace std;\n\nint main() {\n int x, y, z, n, m;\n cin >> x >> y >> z >> n >> m;\n \n int count = 0;\n for (int i = 0; i <= m; i++) {\n for (int j = 0; j <= m - i; j++) {\n int k = m - i - j;\n if (x * i + y * j + z * k == n) {\n count++;\n }\n }\n }\n \n cout << count << endl;\n \n return 0;\n}\n\n\n时间复杂度分析：\n\n由于题目中给定了 x、y、z、n、m 的取值范围较小，分别为 1 ≤ x, y, z ≤ 10，1 ≤ n, m ≤ 1000，因此三重循环的时间复杂度为 O(m^3)。对于每个循环，最多需要执行 1000 次，因此算法的时间复杂度为 O(1000^3) = O(1000000000)。这个时间复杂度在现代计算机上是可以接受的。