2023年3月GESP二级真题 C++ 编程二： 百鸡问题 解题思路与代码实现

'百鸡问题'是出自我国古代《张丘建算经》的著名数学问题。大意为：'每只公鸡 5 元，每只母鸡 3 元，每 3 只小鸡 1 元；现在有 100 元，买了 100 只鸡，共有多少种方案？' 小明很喜欢这个故事，他决定对这个问题进行扩展，并使用编程解决：如果每只公鸡 x 元，每只母鸡 y 元，每 z 只小鸡 1 元；现在有 n 元，买了 m 只鸡，共有多少种方案？

输入描述

输入一行，包含五个整数，分别为问题描述中的 x、y、z、n、m。约定 1≤ x, y, z ≤10，1≤ n, m ≤1000。

输出描述

输出一行，包含一个整数 C，表示有 C 种方案。

用例输入 1

5 3 3 100 100

用例输出 1

4

用例输入 2

1 1 1 100 100

用例输出 2

5151

解题思路

根据题目的描述，我们需要求解的是满足以下条件的方案数量： x * 公鸡数量 + y * 母鸡数量 + z * 小鸡数量 = n 公鸡数量 + 母鸡数量 + 小鸡数量 = m

我们可以使用三层循环来穷举所有可能的方案：

• 外层循环遍历公鸡数量 i，范围从 0 到 n / x（因为公鸡的价格为 x，所以公鸡数量不能超过 n / x）
• 中层循环遍历母鸡数量 j，范围从 0 到 n / y（同理，母鸡的价格为 y，所以母鸡数量不能超过 n / y）
• 内层循环遍历小鸡数量 k，范围从 0 到 n / z（小鸡的价格为 1，所以小鸡数量不能超过 n / z）

在每次循环中，我们需要判断当前方案是否满足条件，即 i + j + k = m。如果满足条件，则方案数量加一。

最后，我们输出方案数量即可。

代码实现如下：

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
    int x, y, z, n, m;
    cin >> x >> y >> z >> n >> m;

    int count = 0;
    for (int i = 0; i <= n / x; i++) {
        for (int j = 0; j <= n / y; j++) {
            for (int k = 0; k <= n / z; k++) {
                if (i + j + k == m) {
                    count++;
                }
            }
        }
    }

    cout << count << endl;

    return 0;
}

复杂度分析

该算法的时间复杂度为 O(n^3)，其中 n 为输入的 n 值。由于 n 的范围最大为 1000，因此算法的时间复杂度可以接受。