C++ 搜索代码时间复杂度优化：使用动态规划解决马的路径问题

问题描述

给定一个 20 * 20 的棋盘，马的初始位置为 (0, 0)，目标位置为 (b_x, b_y)。马的移动规则为：每次可以从当前位置向上下左右四个方向各移动一格，然后斜向移动两格。现在要求计算马从起点到终点的总路径数量。

数据范围

对于 100% 的数据，1 ≤ n, m ≤ 20，0 ≤ 马的坐标 ≤ 20。

原代码

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
bool xy[35][35];
int sum;
int b_x,b_y;
int h_x,h_y;
void dfs(int x,int y){
	if(xy[x+1][y]&&xy[x][y+1]) return;
	if(xy[x+1][y]){
		dfs(x,y+1);
		return;
	}
	if(xy[x][y+1]){
		dfs(x+1,y);
		return;
	}
	if(x==b_x&&y==b_y){
		sum++;
		return;
	}
	if(x==b_x){
		dfs(x,y+1);
		return;
	}
	if(y==b_y){
		dfs(x+1,y);
		return;
	}
	dfs(x+1,y);
	dfs(x,y+1);
	return;
}
int main(void){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);  cout.tie(0);
	cin>>b_x>>b_y>>h_x>>h_y;
	xy[h_x-1][h_y-2]=true;
	xy[h_x+1][h_y-2]=true;
	xy[h_x-2][h_y-1]=true;
	xy[h_x+2][h_y-1]=true;
	xy[h_x-2][h_y+1]=true;
	xy[h_x+2][h_y+1]=true;
	xy[h_x-1][h_y+2]=true;
	xy[h_x+1][h_y+2]=true;
	xy[h_x][h_y]=true;
	dfs(0,0);
	cout<<sum;
	return 0;
}

优化思路

根据数据范围，可以使用动态规划来优化搜索代码的时间复杂度。

首先，定义一个二维数组 dp，dp[i][j] 表示从起点 (0, 0) 到达点 (i, j) 的路径数量。

然后，使用动态规划的方法填充 dp 数组。从起点 (0, 0) 开始，依次计算每个位置的路径数量。对于每个位置 (i, j)，其路径数量等于上方位置 (i-1, j) 和左方位置 (i, j-1) 的路径数量之和。即 dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]。

最后，输出 dp[b_x][b_y] 作为结果。

优化后的代码

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
bool xy[35][35];
int dp[25][25];
int b_x,b_y;
int h_x,h_y;

int main(void){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);  cout.tie(0);
    cin>>b_x>>b_y>>h_x>>h_y;
    xy[h_x-1][h_y-2]=true;
    xy[h_x+1][h_y-2]=true;
    xy[h_x-2][h_y-1]=true;
    xy[h_x+2][h_y-1]=true;
    xy[h_x-2][h_y+1]=true;
    xy[h_x+2][h_y+1]=true;
    xy[h_x-1][h_y+2]=true;
    xy[h_x+1][h_y+2]=true;
    xy[h_x][h_y]=true;

    dp[0][0] = 1;
    for(int i=0;i<=b_x;i++){
        for(int j=0;j<=b_y;j++){
            if(i==0 && j==0) continue;
            if(xy[i][j]) dp[i][j] = 0;
            else{
                if(i==0) dp[i][j] = dp[i][j-1];
                else if(j==0) dp[i][j] = dp[i-1][j];
                else dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1];
            }
        }
    }
    cout<<dp[b_x][b_y];
    return 0;
}

总结

动态规划是一种非常常用的算法优化技巧，它可以将许多问题的时间复杂度从指数级降低到多项式级。在解决路径问题、背包问题、最长公共子序列等问题时，动态规划往往可以发挥重要作用。

希望本文能够帮助读者理解动态规划的应用和代码实现，并能够将动态规划应用到实际问题中。