若函数在区间连续且导数在端点极限存在，则函数在该区间有界

根据导数的定义，若f(x)在(a,b)上连续，则对于任意的x∈(a,b)，f(x)的导数存在。即f(x)在(a,b)上可导。

根据题设条件，f(x)在(a,b)上连续且f(x)的导数在a点的右极限和在b点的左极限存在，即f'(a+)和f'(b-)存在。

由导数的定义，f'(a+)表示f(x)在a点的右导数，即f'(a+) = limx→a+ f'(x)。同理，f'(b-)表示f(x)在b点的左导数，即f'(b-) = limx→b- f'(x)。

若f(x)在(a,b)上有界，则存在M>0，使得|f(x)|≤M，对于任意的x∈(a,b)。

现在证明f(x)在(a,b)上有界：

由于f'(a+)和f'(b-)存在，根据极限的性质，对于任意的ε>0，存在δ1>0，当0<x-a<δ1时，有|f'(x)-f'(a+)|<ε/2。同理，存在δ2>0，当0<b-x<δ2时，有|f'(x)-f'(b-)|<ε/2。

对于任意的x∈(a,b)，由于f(x)在(a,b)上连续且可导，根据拉格朗日中值定理，存在c∈(a,b)，使得f'(c) = (f(x)-f(a))/(x-a) 或者 f'(c) = (f(b)-f(x))/(b-x)。

如果0<x-a<min(δ1, (b-a)/2)，则有|f'(c)-f'(a+)|<ε/2。由于f'(a+)存在，所以f'(c)存在。同理，如果0<b-x<min(δ2, (b-a)/2)，则有|f'(c)-f'(b-)|<ε/2。由于f'(b-)存在，所以f'(c)存在。

综上所述，对于任意的ε>0，存在δ=min(δ1, δ2, (b-a)/2)，使得0<x-a<δ时，有|f'(x)-f'(a+)|<ε/2，同理，对于0<b-x<δ，有|f'(x)-f'(b-)|<ε/2。

由于f(x)在(a,b)上连续，所以f(x)在[a+δ, b-δ]上也连续。根据闭区间上的连续函数有界定理，f(x)在[a+δ, b-δ]上有界，即存在M>0，使得|f(x)|≤M，对于任意的x∈[a+δ, b-δ]。

对于x∈(a,b)，如果x≤a+δ，则有|f(x)|≤|f(a+δ)|+|f(a+δ)-f(x)|≤|f(a+δ)|+ε/2。同理，如果x≥b-δ，则有|f(x)|≤|f(b-δ)|+|f(b-δ)-f(x)|≤|f(b-δ)|+ε/2。

综上所述，对于任意的x∈(a,b)，有|f(x)|≤max(|f(a+δ)|+ε/2, |f(b-δ)|+ε/2, M)。因此，f(x)在(a,b)上有界。