解方程 [(ax+b)(bx+a)]^2=9x^4-60x^3+118x^2-60x+9，求a+b的值

首先，将等式化简： [(ax+b)(bx+a)]^2 = 9x^4-60x^3+118x^2-60x+9 (a^2x^2 + 2abx + b^2)(b^2x^2 + 2abx + a^2) = 9x^4-60x^3+118x^2-60x+9 a^2b^2x^4 + 2a^3bx^3 + a^4x^2 + 2ab^3x^3 + 4a^2b^2x^2 + 2a^3bx + b^4x^2 + 2ab^3x + a^4 = 9x^4-60x^3+118x^2-60x+9 a^2b^2x^4 + (2a^3b + 2ab^3)x^3 + (a^4 + 4a^2b^2 + b^4)x^2 + (2a^3b + 2ab^3)x + a^4 = 9x^4-60x^3+118x^2-60x+9 比较两边各项的系数： a^2b^2 = 9 2a^3b + 2ab^3 = -60 a^4 + 4a^2b^2 + b^4 = 118 2a^3b + 2ab^3 = -60 a^4 = 9 由第一个和第五个方程可得： a^2b^2 = a^4 将a^2b^2 = 9代入可得： a^4 = 9 因此，a = ±3 代入第二个方程可得： 2a^3b + 2ab^3 = -60 当a = 3时： 2(3^3)b + 2(3)b^3 = -60 54b + 6b^3 = -60 6b^3 + 54b + 60 = 0 b^3 + 9b + 10 = 0 (b + 2)(b^2 - 2b + 5) = 0 当b + 2 = 0时，b = -2 当b^2 - 2b + 5 = 0时，无实根 因此，a = 3，b = -2 所以，a + b = 3 + (-2) = 1