推导公式 E{<w,K_l^T φ> <w,K_l^T ψ>} = <φ,K_lK_l^T ψ> 的步骤

这是通过使用期望的线性性质和内积的定义推导得到的。/n/n首先，我们将期望展开：/n$$/mathbf{E}/{/langle w,K_{/ell}^{/mathrm{T}}/varphi/rangle/langle w,K_{/ell}^{/mathrm{T}}/psi/rangle/}=/mathbf{E}/{/langle w,K_{/ell}^{/mathrm{T}}/varphi/rangle/}/mathbf{E}/{/langle w,K_{/ell}^{/mathrm{T}}/psi/rangle/}$$/n/n由于$w$是一个随机变量，我们可以将内积的期望拆开为两个向量的内积：/n$$/mathbf{E}/{/langle w,K_{/ell}^{/mathrm{T}}/varphi/rangle/}=/langle/mathbf{E}/{w/},K_{/ell}^{/mathrm{T}}/varphi/rangle$$/n$$/mathbf{E}/{/langle w,K_{/ell}^{/mathrm{T}}/psi/rangle/}=/langle/mathbf{E}/{w/},K_{/ell}^{/mathrm{T}}/psi/rangle$$/n/n现在，我们将期望展开为内积的形式：/n$$/mathbf{E}/{/langle w,K_{/ell}^{/mathrm{T}}/varphi/rangle/}/mathbf{E}/{/langle w,K_{/ell}^{/mathrm{T}}/psi/rangle/}=/langle/mathbf{E}/{w/},K_{/ell}^{/mathrm{T}}/varphi/rangle/langle/mathbf{E}/{w/},K_{/ell}^{/mathrm{T}}/psi/rangle$$/n/n由于内积的交换律，我们可以重新排列内积的顺序：/n$$/langle/mathbf{E}/{w/},K_{/ell}^{/mathrm{T}}/varphi/rangle/langle/mathbf{E}/{w/},K_{/ell}^{/mathrm{T}}/psi/rangle=/langle K_{/ell}^{/mathrm{T}}/varphi,/mathbf{E}/{w/}/rangle/langle/mathbf{E}/{w/},K_{/ell}^{/mathrm{T}}/psi/rangle$$/n/n由于内积的结合律，我们可以将内积乘积拆分为两个内积的乘积：/n$$/langle K_{/ell}^{/mathrm{T}}/varphi,/mathbf{E}/{w/}/rangle/langle/mathbf{E}/{w/},K_{/ell}^{/mathrm{T}}/psi/rangle=/langle K_{/ell}^{/mathrm{T}}/varphi,/mathbf{E}/{w/}/rangle/langle K_{/ell}^{/mathrm{T}}/psi,/mathbf{E}/{w/}/rangle$$/n/n最后，我们使用内积的定义，将内积转化为向量的乘积：/n$$/langle K_{/ell}^{/mathrm{T}}/varphi,/mathbf{E}/{w/}/rangle/langle K_{/ell}^{/mathrm{T}}/psi,/mathbf{E}/{w/}/rangle=/langle/varphi,K_{/ell}/mathbf{E}/{w/}/rangle/langle K_{/ell}^{/mathrm{T}}/psi,/mathbf{E}/{w/}/rangle$$/n/n由于$K_{/ell}$是一个矩阵，我们可以将矩阵与向量的乘积转化为向量与矩阵转置的乘积：/n$$/langle/varphi,K_{/ell}/mathbf{E}/{w/}/rangle/langle K_{/ell}^{/mathrm{T}}/psi,/mathbf{E}/{w/}/rangle=/langle/varphi,K_{/ell}K_{/ell}^{/mathrm{T}}/psi/rangle$$/n/n因此，我们得到了$/mathbf{E}/{/langle w,K_{/ell}^{/mathrm{T}}/varphi/rangle/langle w,K_{/ell}^{/mathrm{T}}/psi/rangle/}=/langle/varphi,K_{/ell}K_{/ell}^{/mathrm{T}}/psi/rangle$。