证明：E{<w,K_l^Tφ><w,K_l^Tψ>} = <φ,K_lK_l^Tψ> 推导过程

这是通过展开左边的期望值并利用内积的性质推导得到的。/n/n首先，将内积的期望值展开：/n$$/n//begin{aligned}/n//mathbf{E}/{/langle w,K_{/ell}^{/mathrm{T}}/varphi/rangle/langle w,K_{/ell}^{/mathrm{T}}/psi/rangle/} &= /mathbf{E}/{(/langle w,K_{/ell}^{/mathrm{T}}/varphi/rangle)(/langle w,K_{/ell}^{/mathrm{T}}/psi/rangle)/}///n&= /mathbf{E}/{(/varphi^{/mathrm{T}}K_{/ell}w)(/psi^{/mathrm{T}}K_{/ell}w)/}./n//end{aligned}/n$$/n/n接下来，注意到内积的转置等于转置的内积，即$(AB)^{/mathrm{T}} = B^{/mathrm{T}}A^{/mathrm{T}}$。因此，上式可以写成：/n$$/n//begin{aligned}/n//mathbf{E}/{/langle w,K_{/ell}^{/mathrm{T}}/varphi/rangle/langle w,K_{/ell}^{/mathrm{T}}/psi/rangle/} &= /mathbf{E}/{(/varphi^{/mathrm{T}}K_{/ell}w)(/psi^{/mathrm{T}}K_{/ell}w)/}///n&= /mathbf{E}/{/varphi^{/mathrm{T}}(K_{/ell}w)(/psi^{/mathrm{T}}K_{/ell}w)/}///n&= /mathbf{E}/{/varphi^{/mathrm{T}}(K_{/ell}w)(w^{/mathrm{T}}K_{/ell}^{/mathrm{T}}/psi)/}./n//end{aligned}/n$$/n/n然后，我们可以将内积的转置展开为转置的内积：/n$$/n//begin{aligned}/n//mathbf{E}/{/langle w,K_{/ell}^{/mathrm{T}}/varphi/rangle/langle w,K_{/ell}^{/mathrm{T}}/psi/rangle/} &= /mathbf{E}/{/varphi^{/mathrm{T}}(K_{/ell}w)(w^{/mathrm{T}}K_{/ell}^{/mathrm{T}}/psi)/}///n&= /mathbf{E}/{/varphi^{/mathrm{T}}K_{/ell}ww^{/mathrm{T}}K_{/ell}^{/mathrm{T}}/psi/}./n//end{aligned}/n$$/n/n最后，我们可以交换$φ$和$K_{/ell}$的位置，并利用内积的定义，得到：/n$$/n//begin{aligned}/n//mathbf{E}/{/langle w,K_{/ell}^{/mathrm{T}}/varphi/rangle/langle w,K_{/ell}^{/mathrm{T}}/psi/rangle/} &= /mathbf{E}/{/varphi^{/mathrm{T}}K_{/ell}ww^{/mathrm{T}}K_{/ell}^{/mathrm{T}}/psi/}// /n&= /langle/varphi,K_{/ell}(/mathbf{E}/{ww^{/mathrm{T}}/})K_{/ell}^{/mathrm{T}}/psi/rangle// /n&= /langle/varphi,K_{/ell}K_{/ell}^{/mathrm{T}}/psi/rangle./n//end{aligned}/n$$/n/n因此，我们得到了$/mathbf{E}/{/langle w,K_{/ell}^{/mathrm{T}}/varphi/rangle/langle w,K_{/ell}^{/mathrm{T}}/psi/rangle/}=/langle/varphi,K_{/ell}K_{/ell}^{/mathrm{T}}/psi/rangle$。