推导 //(//mathbf{E}//{//langle w,K_{//ell}^{//mathrm{T}}//varphi//rangle//langle w,K_{//ell}^{//mathrm{T}}//psi//rangle//}=//langle//varphi,K_{//ell}K_{//ell}^{//mathrm{T}}//psi//rangle//) 的步骤

//{/'title/':/'推导 //(//mathbf{E}//{//langle w,K_{//ell}^{//mathrm{T}}//varphi//rangle//langle w,K_{//ell}^{//mathrm{T}}//psi//rangle//}=//langle//varphi,K_{//ell}K_{//ell}^{//mathrm{T}}//psi//rangle//) 的步骤/',/'description/':/'本文详细推导出 //(//mathbf{E}//{//langle w,K_{//ell}^{//mathrm{T}}//varphi//rangle//langle w,K_{//ell}^{//mathrm{T}}//psi//rangle//}=//langle//varphi,K_{//ell}K_{//ell}^{//mathrm{T}}//psi//rangle//) 的结果，运用期望值的性质和内积的线性性质，并解释了推导过程中的每一步。/',/'keywords/':/'期望值, 内积, 线性性质, 随机向量, 矩阵, 向量, 推导/',/'content/':/'为了推导出 //(//mathbf{E}//{//langle w,K_{//ell}^{//mathrm{T}}//varphi//rangle//langle w,K_{//ell}^{//mathrm{T}}//psi//rangle//}=//langle//varphi,K_{//ell}K_{//ell}^{//mathrm{T}}//psi//rangle//) 这个结果，我们可以使用期望值的性质和内积的线性性质。以下是详细的推导步骤：//n//n首先，我们有 //(//mathbf{E}//{//langle w,K_{//ell}^{//mathrm{T}}//varphi//rangle//langle w,K_{//ell}^{//mathrm{T}}//psi//rangle//} )，其中 //(w//) 是随机向量，//(K_{//ell}//) 是矩阵，//(//varphi//) 和 //(//psi//) 是向量。//n//n我们可以将这个期望值展开为：//n$$//n//begin{align*}//n//mathbf{E}//{//langle w,K_{//ell}^{//mathrm{T}}//varphi//rangle//langle w,K_{//ell}^{//mathrm{T}}//psi//rangle//} &= //mathbf{E}//left//{//left(//sum_i w_i (K_{//ell}^{//mathrm{T}}//varphi)i//right)//left(//sum_j w_j (K{//ell}^{//mathrm{T}}//psi)j//right)//right//},//n//end{align*}//n$$//n其中 //((K{//ell}^{//mathrm{T}}//varphi)i//) 和 //((K{//ell}^{//mathrm{T}}//psi)j//) 分别表示 //(K{//ell}^{//mathrm{T}}//varphi//) 和 //(K_{//ell}^{//mathrm{T}}//psi//) 的第 //(i//) 和第 //(j//) 个分量。//n//n接下来，我们可以使用期望值的线性性质，将期望值运算移到求和符号内部：//n$$//n//begin{align*}//n//mathbf{E}//{//langle w,K_{//ell}^{//mathrm{T}}//varphi//rangle//langle w,K_{//ell}^{//mathrm{T}}//psi//rangle//} &= //sum_i //sum_j //mathbf{E}//left//{w_i (K_{//ell}^{//mathrm{T}}//varphi)i //cdot w_j (K{//ell}^{//mathrm{T}}//psi)j//right//}.//n//end{align*}//n$$//n//n现在，我们可以使用期望值的定义，即 //(//mathbf{E}//{X//}=//int X //cdot p(w) //, dw//)，其中 //(p(w)//) 是 //(w//) 的概率密度函数。将这个定义应用到上式中：//n$$//n//begin{align*}//n//mathbf{E}//{//langle w,K{//ell}^{//mathrm{T}}//varphi//rangle//langle w,K_{//ell}^{//mathrm{T}}//psi//rangle//} &= //sum_i //sum_j //int //left(w_i (K_{//ell}^{//mathrm{T}}//varphi)i //cdot w_j (K{//ell}^{//mathrm{T}}//psi)j//right) //cdot p(w) //, dw.//n//end{align*}//n$$//n//n接下来，我们可以交换求和和积分的顺序，因为积分是线性操作。然后，我们可以将乘积展开并使用内积的定义：//n$$//n//begin{align*}//n//mathbf{E}//{//langle w,K{//ell}^{//mathrm{T}}//varphi//rangle//langle w,K_{//ell}^{//mathrm{T}}//psi//rangle//} &= //int //sum_i //sum_j //left(w_i (K_{//ell}^{//mathrm{T}}//varphi)i //cdot w_j (K{//ell}^{//mathrm{T}}//psi)j//right) //cdot p(w) //, dw ////n&= //int //sum_i //sum_j w_i w_j (K{//ell}^{//mathrm{T}}//varphi)i (K{//ell}^{//mathrm{T}}//psi)j //cdot p(w) //, dw ////n&= //int //left(//sum_i w_i (K{//ell}^{//mathrm{T}}//varphi)i//right) //left(//sum_j w_j (K{//ell}^{//mathrm{T}}//psi)j//right) //cdot p(w) //, dw.//n//end{align*}//n$$//n//n现在，我们可以观察到上式的形式与内积的定义非常相似。具体来说，它类似于 //(//langle u,v //rangle//)，其中 //(u//) 是 //(//sum_i w_i (K{//ell}^{//mathrm{T}}//varphi)i//)，//(v//) 是 //(//sum_j w_j (K{//ell}^{//mathrm{T}}//psi)j//)。因此，我们可以写成内积的形式：//n$$//n//mathbf{E}//{//langle w,K{//ell}^{//mathrm{T}}//varphi//rangle//langle w,K_{//ell}^{//mathrm{T}}//psi//rangle//} = //int //langle //sum_i w_i (K_{//ell}^{//mathrm{T}}//varphi)i, //sum_j w_j (K{//ell}^{//mathrm{T}}//psi)j //rangle //cdot p(w) //, dw.//n$$//n//n最后，我们可以使用内积的线性性质将内积移到积分的外面：//n$$//n//mathbf{E}//{//langle w,K{//ell}^{//mathrm{T}}//varphi//rangle//langle w,K_{//ell}^{//mathrm{T}}//psi//rangle//} = //langle //int //left(//sum_i w_i (K_{//ell}^{//mathrm{T}}//varphi)i//right) p(w) //, dw, //int //left(//sum_j w_j (K{//ell}^{//mathrm{T}}//psi)j//right) p(w) //, dw //rangle.//n$$//n//n最后，注意到积分 //(//int //left(//sum_i w_i (K{//ell}^{//mathrm{T}}//varphi)i//right) p(w) //, dw//) 和 //(//int //left(//sum_j w_j (K{//ell}^{//mathrm{T}}//psi)j//right) p(w) //, dw//) 分别是向量 //(//sum_i w_i (K{//ell}^{//mathrm{T}}//varphi)i//) 和 //(//sum_j w_j (K{//ell}^{//mathrm{T}}//psi)j//) 的期望值。根据期望值的定义，我们可以将它们写成矩阵和向量的乘积的形式：//n$$//n//begin{align*}//n//int //left(//sum_i w_i (K{//ell}^{//mathrm{T}}//varphi)i//right) p(w) //, dw &= //mathbf{E}//{w(K{//ell}^{//mathrm{T}}//varphi)//} ////n&= K_{//ell}^{//mathrm{T}}//varphi //cdot //mathbf{E}//{w//} ////n&= K_{//ell}^{//mathrm{T}}//varphi //cdot 0 ////n&= 0,//n//end{align*}//n$$//n$$//n//begin{align*}//n//int //left(//sum_j w_j (K_{//ell}^{//mathrm{T}}//psi)j//right) p(w) //, dw &= //mathbf{E}//{w(K{//ell}^{//mathrm{T}}//psi)//} ////n&= K_{//ell}^{//mathrm{T}}//psi //cdot //mathbf{E}//{w//} ////n&= K_{//ell}^{//mathrm{T}}//psi //cdot 0 ////n&= 0.//n//end{align*}//n$$//n//n因此，我们得到：//n$$//n//mathbf{E}//{//langle w,K_{//ell}^{//mathrm{T}}//varphi//rangle//langle w,K_{//ell}^{//mathrm{T}}//psi//rangle//} = //langle 0,0 //rangle = 0.//n$$//n//n综上所述，我们推导出了 //(//mathbf{E}//{//langle w,K_{//ell}^{//mathrm{T}}//varphi//rangle//langle w,K_{//ell}^{//mathrm{T}}//psi//rangle//}=0//)。//n//n注意到，上述推导中我们没有使用到矩阵 //(K_{//ell}//) 的具体形式，因此这个结果对于任意的 //(K_{//ell}//) 都成立。/