证明：E{<w,K_l^Tφ><w,K_l^Tψ>} = <φ,K_lK_l^Tψ> 推导过程

首先，我们可以展开\mathbf{E}{\langle w,K_{\ell}^{\mathrm{T}}\varphi\rangle\langle w,K_{\ell}^{\mathrm{T}}\psi\rangle}：\begin{align*}\mathbf{E}{\langle w,K_{\ell}^{\mathrm{T}}\varphi\rangle\langle w,K_{\ell}^{\mathrm{T}}\psi\rangle} &= \mathbf{E}{w^{\mathrm{T}}(K_{\ell}^{\mathrm{T}}\varphi)(K_{\ell}^{\mathrm{T}}\psi)^{\mathrm{T}}w} &= \mathbf{E}{w^{\mathrm{T}}(K_{\ell}^{\mathrm{T}}\varphi\psi^{\mathrm{T}}K_{\ell})w}\end{align*}\接下来，我们可以利用期望的线性性质将$w^{\mathrm{T}}(K_{\ell}^{\mathrm{T}}\varphi\psi^{\mathrm{T}}K_{\ell})w$拆分为两部分：\begin{align*}w^{\mathrm{T}}(K_{\ell}^{\mathrm{T}}\varphi\psi^{\mathrm{T}}K_{\ell})w &= w^{\mathrm{T}}(K_{\ell}^{\mathrm{T}}\varphi)(\psi^{\mathrm{T}}K_{\ell}w) &= \langle K_{\ell}^{\mathrm{T}}\varphi,\psi^{\mathrm{T}}K_{\ell}w\rangle\end{align*}\最后，我们可以得到：\begin{align*}\mathbf{E}{\langle w,K_{\ell}^{\mathrm{T}}\varphi\rangle\langle w,K_{\ell}^{\mathrm{T}}\psi\rangle} &= \mathbf{E}{\langle K_{\ell}^{\mathrm{T}}\varphi,\psi^{\mathrm{T}}K_{\ell}w\rangle} &= \langle\varphi,\mathbf{E}{\psi^{\mathrm{T}}K_{\ell}w}\rangle &= \langle\varphi,K_{\ell}K_{\ell}^{\mathrm{T}}\psi\rangle\end{align*}\因此，$\mathbf{E}{\langle w,K_{\ell}^{\mathrm{T}}\varphi\rangle\langle w,K_{\ell}^{\mathrm{T}}\psi\rangle}=\langle\varphi,K_{\ell}K_{\ell}^{\mathrm{T}}\psi\rangle$成立。