1271: 砍伐树木（cuttree） - 算法解析与实现

1271: 砍伐树木（cuttree） - 算法解析与实现

问题描述

小华需要砍倒m米长的木材。他有一个奇怪的伐木机，可以设置一个高度参数h，锯掉所有树比h高的部分。帮助小华找到伐木机锯片的最大的整数高度h，使得他能得到的木材至少为m米。

算法思路

1. 观察: 伐木机锯片的最大高度h一定是树木高度的最大值。
2. 二分查找: 使用二分查找方法来确定最大的合适高度h。
   • 初始化左边界left为0，右边界right为树木高度的最大值。
   • 当left小于等于right时，进行二分查找：
     • 计算中间值mid = (left + right) // 2。
     • 计算小华得到的木材长度sum，初始值为0。
     • 遍历每棵树木的高度，如果高度大于mid，则将高度减去mid的部分加到sum中。
     • 如果sum大于等于m，更新left为mid + 1。
     • 否则，更新right为mid - 1。
3. 返回结果: 返回left - 1作为最大的合适高度h。

时间复杂度分析

• 二分查找的时间复杂度为O(logn)，其中n为树木的数量。
• 遍历树木的时间复杂度为O(n)。
• 所以总的时间复杂度为O(nlogn)。

实现代码

def cut_tree(n, m, heights):
    left = 0
    right = max(heights)

    while left <= right:
        mid = (left + right) // 2
        sum = 0
        for height in heights:
            if height > mid:
                sum += height - mid
        if sum >= m:
            left = mid + 1
        else:
            right = mid - 1

    return left - 1

# 示例输入
n = 5
m = 20
heights = [4, 42, 40, 26, 46]

# 输出最大高度
result = cut_tree(n, m, heights)
print(result)  # 输出 36

总结

本题通过二分查找方法巧妙地找到了伐木机锯片的最大高度，实现思路清晰，代码简洁，是典型的二分查找应用案例。