证明键盘数可被 37 整除 - 数字键盘上的数谜

要证明每个键盘数都可以被 37 整除，可以使用模运算来进行证明。\n\n首先，我们将每个数字在键盘上的位置用坐标表示，如下所示：\n\n1 2 3\n4 5 6\n7 8 9\n\n我们可以发现，每个数字在键盘上的位置可以用其坐标的和来表示。例如，数字 5 的坐标为 (2, 2)，其坐标的和为 4。同理，数字 9 的坐标为 (3, 3)，其坐标的和为 6。\n\n现在，我们来分析一下从某个端点到另一个端点的路径。共有四种路径，分别是从左上角到右下角、从右上角到左下角、从左下角到右上角和从右下角到左上角。我们以从左上角到右下角的路径为例进行分析。\n\n路径如下：\n\n1 2 3\n 5 6\n 9\n\n我们可以发现，从左上角到右下角的路径上的数字可以用其坐标的差来表示。例如，数字 5 的坐标为 (2, 2)，其坐标的差为 0。同理，数字 9 的坐标为 (3, 3)，其坐标的差为 0。\n\n现在，我们来观察一下键盘数的构成。键盘数由路径上的数字顺序组成，每个数字都可以用其坐标的和或坐标的差来表示。例如，键盘数 123456 可以用 (1, 2, 3, 4, 3, 2) 表示，键盘数 987654 可以用 (6, 5, 4, 3, 2, 1) 表示。\n\n假设键盘数为 ABCDE，其中 A、B、C、D、E 分别表示路径上的数字。我们可以将 ABCDE 表示为 (A, B, C, D, C, B)。\n\n现在，我们来计算 ABCDE 除以 37 的余数。根据模运算的性质，我们可以得到以下等式：\n\nABCDE ≡ A * 37^5 + B * 37^4 + C * 37^3 + D * 37^2 + C * 37 + B (mod 37)\n\n由于 37 的幂次较大，我们可以利用模运算的性质进行简化。根据模运算的性质，我们可以得到以下等式：\n\n37^5 ≡ 1 (mod 37)\n37^4 ≡ 1 (mod 37)\n37^3 ≡ 1 (mod 37)\n37^2 ≡ 1 (mod 37)\n37 ≡ 0 (mod 37)\n\n将以上等式代入到原等式中，我们可以得到以下等式：\n\nABCDE ≡ A + B + C + D + C + B (mod 37)\n\n由于 A、B、C、D、E 分别表示路径上的数字，根据前面的分析，我们可以得到以下等式：\n\nA + B + C + D + C + B ≡ 0 (mod 37)\n\n即，ABCDE 除以 37 的余数为 0，即 ABCDE 可以被 37 整除。\n\n因此，我们证明了每个键盘数都可以被 37 整除。