格林函数求解：基于哈密顿量 $H = \sum\limits_\sigma \varepsilon_0 c_\sigma^\dagger c_\sigma + U n_\uparrow n_\downarrow$ 的分析

要求解格林函数$\langle \langle c_\sigma |c_\sigma^\dagger \rangle \rangle$，我们可以使用Green's函数的定义：$\langle \langle A | B \rangle \rangle = -i \int_{-\infty}^{\infty} dt \ e^{i\omega t}\langle { A(t), B(0) } \rangle$其中，${A(t), B(0)}$是A和B的反对易子，$\omega$是频率。根据哈密顿量的定义，我们有：$H = \sum\limits_\sigma \varepsilon_0 c_\sigma^\dagger c_\sigma + U n_\uparrow n_\downarrow$其中，$\varepsilon_0$是单粒子能级，$U$是相互作用强度，$c_\sigma^\dagger$和$c_\sigma$分别是创建和湮灭$\sigma$自旋的费米子算符，$n_\uparrow$和$n_\downarrow$分别是$\uparrow$和$\downarrow$自旋的粒子数算符。我们可以将$H$写成两部分的和：$H = H_0 + H_{\text{int}}$其中，$H_0 = \sum\limits_\sigma \varepsilon_0 c_\sigma^\dagger c_\sigma$是无相互作用的部分，而$H_{\text{int}} = U n_\uparrow n_\downarrow$是相互作用部分。格林函数$\langle \langle c_\sigma |c_\sigma^\dagger \rangle \rangle$可以通过$H_0$和$H_{\text{int}}$的格林函数来计算。我们可以先计算无相互作用部分$H_0$的格林函数$\langle \langle c_\sigma |c_\sigma^\dagger \rangle \rangle_0$，再考虑相互作用部分$H_{\text{int}}$对格林函数的修正。对于无相互作用部分$H_0$，我们有：$\langle \langle c_\sigma |c_\sigma^\dagger \rangle \rangle_0 = -i \int_{-\infty}^{\infty} dt \ e^{i\omega t}\langle { c_\sigma(t), c_\sigma^\dagger(0) } \rangle_0$由于$H_0$是二次型的，我们可以将$c_\sigma(t)$和$c_\sigma^\dagger(0)$用产生和湮灭算符的展开式表示：$c_\sigma(t) = \sum\limits_n e^{i\varepsilon_n t} a_{n\sigma}$ $c_\sigma^\dagger(0) = \sum\limits_m b_{m\sigma}^\dagger$其中，$a_{n\sigma}$和$b_{m\sigma}^\dagger$分别是$H_0$的本征态$\varepsilon_n$和$\varepsilon_m$对应的产生和湮灭算符。代入上式，我们可以得到：$\langle \langle c_\sigma |c_\sigma^\dagger \rangle \rangle_0 = -i \sum\limits_{n,m} e^{i(\varepsilon_n-\varepsilon_m) t}\langle { a_{n\sigma}, b_{m\sigma}^\dagger } \rangle_0$由于$a_{n\sigma}$和$b_{m\sigma}^\dagger$满足费米子的对易关系，上式中的反对易子可以化简为对易子，即：$\langle \langle c_\sigma |c_\sigma^\dagger \rangle \rangle_0 = -i \sum\limits_{n,m} e^{i(\varepsilon_n-\varepsilon_m) t}\langle [ a_{n\sigma}, b_{m\sigma}^\dagger ] \rangle_0$由于$a_{n\sigma}$和$b_{m\sigma}^\dagger$是本征态对应的产生和湮灭算符，它们满足对易关系：$[ a_{n\sigma}, b_{m\sigma}^\dagger ] = \delta_{nm}$代入上式，我们可以得到：$\langle \langle c_\sigma |c_\sigma^\dagger \rangle \rangle_0 = -i \sum\limits_{n,m} e^{i(\varepsilon_n-\varepsilon_m) t}\delta_{nm}$由于$a_{n\sigma}$和$b_{m\sigma}^\dagger$是费米子算符，它们的本征态$n$和$m$必须满足相同的自旋$\sigma$，即$n=m$，因此：$\langle \langle c_\sigma |c_\sigma^\dagger \rangle \rangle_0 = -i \sum\limits_{n,m} e^{i(\varepsilon_n-\varepsilon_m) t}\delta_{nm} = -i \sum\limits_{n} e^{i(\varepsilon_n-\varepsilon_n) t} = -i \sum\limits_{n} e^{i\cdot 0 \cdot t} = -i \sum\limits_{n} 1 = -i N$其中，$N$是系统的简并度。由此可见，在无相互作用的情况下，格林函数$\langle \langle c_\sigma |c_\sigma^\dagger \rangle \rangle_0$是一个常数$-i N$。接下来考虑相互作用部分$H_{\text{int}}$对格林函数的修正。由于$H_{\text{int}} = U n_\uparrow n_\downarrow$，我们可以将$n_\uparrow$和$n_\downarrow$用产生和湮灭算符表示：$n_\uparrow = \sum\limits_{n,m} a_{n\uparrow}^\dagger a_{m\uparrow}$ $n_\downarrow = \sum\limits_{n,m} a_{n\downarrow}^\dagger a_{m\downarrow}$代入$H_{\text{int}}$，我们有：$H_{\text{int}} = U \sum\limits_{n,m} a_{n\uparrow}^\dagger a_{m\uparrow} a_{n\downarrow}^\dagger a_{m\downarrow}$由于$a_{n\sigma}$是本征态$\varepsilon_n$对应的产生算符，它满足对易关系：$[ a_{n\sigma}, a_{m\sigma}^\dagger ] = \delta_{nm}$代入上式，我们可以得到：$H_{\text{int}} = U \sum\limits_{n,m} a_{n\uparrow}^\dagger a_{m\uparrow} a_{n\downarrow}^\dagger a_{m\downarrow} = U \sum\limits_{n,m} [ a_{n\uparrow}^\dagger, a_{m\uparrow} ] a_{n\downarrow}^\dagger a_{m\downarrow} = U \sum\limits_{n,m} \delta_{nm} a_{n\downarrow}^\dagger a_{m\downarrow} = U \sum\limits_{n} a_{n\downarrow}^\dagger a_{n\downarrow}$由于$a_{n\downarrow}$和$a_{n\downarrow}^\dagger$是费米子算符，它们的本征态$n$必须满足相同的自旋$\downarrow$，即$n=n$，因此：$H_{\text{int}} = U \sum\limits_{n} a_{n\downarrow}^\dagger a_{n\downarrow} = U n_\downarrow$由此可见，在相互作用部分$H_{\text{int}}$的影响下，格林函数$\langle \langle c_\sigma |c_\sigma^\dagger \rangle \rangle$将被修正为：$\langle \langle c_\sigma |c_\sigma^\dagger \rangle \rangle = \langle \langle c_\sigma |c_\sigma^\dagger \rangle \rangle_0 + \langle \langle c_\sigma |c_\sigma^\dagger \rangle \rangle_{\text{int}}$其中，$\langle \langle c_\sigma |c_\sigma^\dagger \rangle \rangle_{\text{int}}$是相互作用部分$H_{\text{int}}$对格林函数的修正。根据上面的推导，$\langle \langle c_\sigma |c_\sigma^\dagger \rangle \rangle_{\text{int}} = U \langle \langle n_\downarrow |n_\downarrow \rangle \rangle$。由于$n_\downarrow$是费米子数算符，它的本征值只能是0或1，因此格林函数$\langle \langle n_\downarrow |n_\downarrow \rangle \rangle$只能取0或1。综上所述，格林函数$\langle \langle c_\sigma |c_\sigma^\dagger \rangle \rangle$的解为：$\langle \langle c_\sigma |c_\sigma^\dagger \rangle \rangle = -i N + U \langle \langle n_\downarrow |n_\downarrow \rangle \rangle$其中，$N$是系统的简并度。