极限求导实例：求函数f(x)=x^2在x=2处的导数

例：求函数$f(x)=x^2$在$x=2$处的导数。\n\n解：根据极限的定义，导数可以通过以下公式计算：\n\n$$f'(x) = \lim_{h\to0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$ \n\n将函数$f(x)=x^2$代入上式，得到：\n\n$$f'(x) = \lim_{h\to0} \frac{(x+h)^2 - x^2}{h}$$ \n\n展开并化简上式，得到：\n\n$$f'(x) = \lim_{h\to0} \frac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h}$$ \n\n消去$x^2$项，得到：\n\n$$f'(x) = \lim_{h\to0} \frac{2xh + h^2}{h}$$ \n\n化简上式，得到：\n\n$$f'(x) = \lim_{h\to0} (2x + h)$$ \n\n将$x=2$代入上式，得到：\n\n$$f'(2) = \lim_{h\to0} (2(2) + h)$$ \n\n化简上式，得到：\n\n$$f'(2) = \lim_{h\to0} (4 + h)$$ \n\n根据极限的性质，当$h$趋近于$0$时，$4+h$也趋近于$4$，因此：\n\n$$f'(2) = 4$$ \n\n所以，函数$f(x)=x^2$在$x=2$处的导数为$4$。