MATLAB 求解无限大平板在流体中热传导问题

在无限大平板上建立坐标系，假设平板的厚度方向为 x 轴方向，表面温度方向为 y 轴方向。\n\n设平板内的温度分布为 T(x,t)，其中 x 为平板内的位置，t 为时间。\n\n根据热传导定律，平板内的温度满足以下方程：\n\n∂T/∂t = α * ∂^2T/∂x^2\n\n其中，α 为热扩散系数，由热扩散率 D 和平板材料的热容 Cp 和密度 ρ 确定，即 α = D/(Cp * ρ)。\n\n根据边界条件，平板的两个表面温度分别为 t0 和 t∞，即\n\nT(x,0) = t0，0 <= x <= δ\n\nT(x,0) = t∞，δ < x < 2δ\n\nT(0,t) = t0，t > 0\n\nT(2δ,t) = t∞，t > 0\n\n由于平板是无限大的，所以我们可以假设温度在无穷远处趋于 t∞，即\n\nlim_{x→∞} T(x,t) = t∞，t > 0\n\n将边界条件和无穷远条件代入方程：\n\n∂T/∂t = α * ∂^2T/∂x^2，0 < x < 2δ，t > 0\n\nT(x,0) = t0，0 < x < 2δ\n\nT(0,t) = t0，t > 0\n\nT(2δ,t) = t∞，t > 0\n\nlim_{x→∞} T(x,t) = t∞，t > 0\n\n可以使用 MATLAB 的偏微分方程求解工具箱 pdepe 来求解该问题。具体代码如下：\n\nmatlab\nfunction heat_transfer()\n % 定义参数\n D = 1; % 热扩散率\n Cp = 1; % 热容\n rho = 1; % 密度\n alpha = D / (Cp * rho); % 热扩散系数\n t0 = 0; % 初始温度\n t_inf = 100; % 流体温度\n h = 10; % 表面传热系数\n delta = 1; % 平板厚度\n\n % 定义空间网格\n x = linspace(0, 2*delta, 100);\n t = linspace(0, 10, 100);\n\n % 定义初始条件和边界条件\n function [c, f, s] = heat_eqn(x, t, u, du_dx)\n c = 1 / alpha;\n f = du_dx;\n s = 0;\n end\n\n function u0 = initial_condition(x)\n u0 = t0 * ones(size(x));\n u0(x > delta) = t_inf;\n end\n\n function [pl, ql, pr, qr] = boundary_conditions(xl, ul, xr, ur, t)\n pl = h * (ul - t_inf);\n ql = 0;\n pr = 0;\n qr = 1;\n end\n\n % 求解偏微分方程\n sol = pdepe(0, @heat_eqn, @initial_condition, @boundary_conditions, x, t);\n\n % 绘制温度分布图像\n figure;\n surf(x, t, sol);\n xlabel('x');\n ylabel('t');\n zlabel('T');\n title('Temperature Distribution');\nend\n\n\n运行该函数即可得到平板内的温度分布图像。