自旋角动量算符的对易关系计算：利用产生湮灭算符

一个体系的自旋角动量量子数和磁量子数分别为 S, m. 同时定义 //$S^//pm = S_x //pm i S_y$ 则容易得出：//$S^//pm //ket{S,m} = //sqrt{(S //mp m )(S//pm m +1)}//ket{S,m//pm 1}$ 。知道玻色子湮灭 //和产生算符有如下关系式：//$a//ket{n} = //sqrt{n+1} //ket{n-1}, a^//dagger//ket{n}= //sqrt{n+1}//ket{n+1}, n = a^//dagger a$。利用$a , a^//dagger$的对易关系计算$S^//pm , S_z$的对易关系内容：首先，我们可以将自旋角动量算符表示为产生湮灭算符的组合： //$$S_x = //frac{1}{2}(S^+ + S^-)$$//$$S_y = //frac{1}{2i}(S^+ - S^-)$$// //将其代入给定的关系式$S^//pm //ket{S,m} = //sqrt{(S //mp m )(S//pm m +1)}//ket{S,m//pm 1}$，可以得到： //$$//frac{1}{2}(S^+ + S^-) //ket{S,m} = //sqrt{(S - m )(S+ m +1)}//ket{S,m+1}$$//$$//frac{1}{2i}(S^+ - S^-) //ket{S,m} = //sqrt{(S + m )(S- m +1)}//ket{S,m-1}$$// //我们可以进一步将$S^//pm$表示为湮灭和产生算符的组合形式： //$$S^+ = //frac{1}{//sqrt{2}}(S_x + iS_y)$$//$$S^- = //frac{1}{//sqrt{2}}(S_x - iS_y)$$// //将其代入上面的两个方程中，可以得到： //$$//frac{1}{2}(S_x + iS_y) //ket{S,m} = //frac{1}{//sqrt{2}}//sqrt{(S - m )(S+ m +1)}//ket{S,m+1}$$//$$//frac{1}{2i}(S_x - iS_y) //ket{S,m} = //frac{1}{//sqrt{2}}//sqrt{(S + m )(S- m +1)}//ket{S,m-1}$$// //现在我们可以计算$[S^//pm, S_z]$，首先计算$[S^+, S_z]$： //$$[S^+, S_z] = //left[//frac{1}{//sqrt{2}}(S_x + iS_y), S_z//right]$$//$$= //frac{1}{//sqrt{2}}//left[S_x, S_z//right] + //frac{i}{//sqrt{2}}//left[S_y, S_z//right]$$// //利用自旋角动量算符的对易关系$[S_i, S_j] = i//hbar//epsilon_{ijk}S_k$，其中$//epsilon_{ijk}$为Levi-Civita符号，可以得到： //$$[S_x, S_z] = i//hbar(S_y)$$//$$[S_y, S_z] = -i//hbar(S_x)$$// //代入上面的式子中，可以得到： //$$[S^+, S_z] = //frac{1}{//sqrt{2}}(i//hbar(S_y)) + //frac{i}{//sqrt{2}}(-i//hbar(S_x))$$//$$= i//hbar//left(//frac{1}{//sqrt{2}}(S_y - S_x)//right)$$//$$= i//hbar//left(//frac{1}{//sqrt{2}}(-i2S_z)//right)$$//$$= 2i//hbar S_z$$// //类似地，我们可以计算$[S^-, S_z]$： //$$[S^-, S_z] = //left[//frac{1}{//sqrt{2}}(S_x - iS_y), S_z//right]$$//$$= //frac{1}{//sqrt{2}}//left[S_x, S_z//right] - //frac{i}{//sqrt{2}}//left[S_y, S_z//right]$$//$$= i//hbar//left(//frac{1}{//sqrt{2}}(S_y + S_x)//right)$$//$$= i//hbar//left(//frac{1}{//sqrt{2}}(-i2S_z)//right)$$//$$= -2i//hbar S_z$$// //综上所述，我们得到$[S^//pm, S_z]$的对易关系为： //$$[S^+, S_z] = 2i//hbar S_z$$//$$[S^-, S_z] = -2i//hbar S_z$$