投资问题：动态规划求解最大收益

【投资问题】m元钱n项投资，f(x)表示x元钱投入第i个项目取得的收益，现问如何选择投资方案可以使得投资获得的收益最大。1)给出目标函数。2)给出约束条件3)设F(x)表示x元钱投给前个项目的最大收益，在使用动态规划(备忘录方法或者迭代递推方法)求解投资问题时，给出F(x)的递推方程及其边界条件。4)使用动态规划(备忘录方法或者迭代递推方法) 求解投资问题时，当Fx)取得最大值时，给出标记函数xk(x)的意义及其递推方程。5)现有一个投资问题的实例:3万元钱，3个项目，效益函数如下表所示f(x)f(x)f(x)00001211227161511请填充下面的备忘录表Fk(x)和标记函数表xk(x)。备忘录表Fk(x)x\k 1 2 3123标记函数表xk(x)x\k 1 2 31235)试通过标记函数x()反向追溯该构造上述问题实例的最优解给出正确的解答步骤内容：1) 目标函数：求投资获得的收益最大，即求max(f(x1) + f(x2) + ... + f(xn))2) 约束条件：投资总额为m元钱，即x1 + x2 + ... + xn = m3) F(x)的递推方程及边界条件：递推方程：F(x) = max(f(x1) + F(x-x1), f(x2) + F(x-x2), ..., f(xn) + F(x-xn))边界条件：F(0) = 04) 标记函数xk(x)的意义及递推方程：标记函数xk(x)表示在投入x元钱时，最后一次投资选择的项目编号为k。递推方程为：xk(x) = argmax(f(k) + F(x - xk(x)))5) 备忘录表Fk(x)和标记函数表xk(x)的填充：备忘录表Fk(x)：x\k 1 2 31 0 0 02 1 1 13 1 2 2标记函数表xk(x)：x\k 1 2 31 0 0 02 1 1 13 1 2 26) 反向追溯最优解的步骤：从标记函数表xk(x)的最后一行开始，找到最大值所对应的项目编号k。然后从备忘录表Fk(x)找到对应的最大收益值F(x)。再根据xk(x)找到x值，继续往前追溯，重复以上步骤，直到x为0为止。最后得到的项目编号序列即为该投资问题实例的最优解。