用湮灭和产生算符表示自旋算符 - 量子力学

首先，我们可以将自旋算符 //$S_x//$ 和 //$S_y//$ 表示为湮灭和产生算符的组合：//n//$//nS_x = //frac{1}{2}(S^+ + S^-), //quad S_y = //frac{1}{2i}(S^+ - S^-) //n//$//n将其代入 //$S^/pm//$ 的定义中：//n//$//nS^/pm = S_x //pm iS_y = //frac{1}{2}(S^+ + S^-) //pm //frac{1}{2i}(S^+ - S^-) //n//$//n整理得：//n//$//nS^+ = //frac{1}{//sqrt{2}}(S^+_x - iS^+_y), //quad S^- = //frac{1}{//sqrt{2}}(S^-_x + iS^-_y) //n//$//n根据题目中给出的关系式 //$S^/pm //lvert S, m //rangle = //sqrt{(S //mp m)(S //pm m + 1)} //lvert S, m //pm 1 //rangle//$，我们可以用湮灭和产生算符表示出它们：//n//$//nS^+ //lvert S, m //rangle = //frac{1}{//sqrt{2}}(S^+_x - iS^+_y) //lvert S, m //rangle = //sqrt{(S - m)(S + m + 1)} //lvert S, m + 1 //rangle //n//$//nS^- //lvert S, m //rangle = //frac{1}{//sqrt{2}}(S^-_x + iS^-_y) //lvert S, m //rangle = //sqrt{(S + m)(S - m + 1)} //lvert S, m - 1 //rangle //n//$//n现在我们可以用 //$a//$ 和 //$a^/dagger//$ 来表示 //$S^/pm//$ 和 //$S_z//$。首先，我们将 //$S^+_x//$ 和 //$S^+_y//$ 表示为湮灭和产生算符的形式：//n//$//nS^+_x = //frac{1}{2}(S^+ + S^- + S^+_x - S^-_x), //quad S^+_y = //frac{1}{2i}(S^+ - S^- + S^+_y - S^-_y) //n//$//n将其代入 //$S^+//$ 的表达式中：//n//$//nS^+ //lvert S, m //rangle = //frac{1}{//sqrt{2}}(S^+_x - iS^+_y) //lvert S, m //rangle = //frac{1}{//sqrt{2}}//left(//frac{1}{2}(S^+ + S^- + S^+_x - S^-_x) - i//frac{1}{2i}(S^+ - S^- + S^+_y - S^-_y)//right) //lvert S, m //rangle //n//$//n整理得：//n//$//nS^+ //lvert S, m //rangle = //frac{1}{//sqrt{2}}//left(//frac{1}{2}(1 + S^+_x - S^-_x) - i//frac{1}{2}(1 - S^+_y - S^-_y)//right) //lvert S, m //rangle //n//$//n由于 //$S^+_x = S^-_x = //frac{1}{2}(a^/dagger + a)//$ 和 //$S^+_y = -S^-_y = //frac{1}{2i}(a^/dagger - a)//$，将其代入上式中：//n//$//nS^+ //lvert S, m //rangle = //frac{1}{//sqrt{2}}//left(//frac{1}{2}//left(1 + //frac{1}{2}(a^/dagger + a) - //frac{1}{2}(a^/dagger + a)//right) - i//frac{1}{2}//left(1 - //frac{1}{2i}(a^/dagger - a) - //frac{1}{2i}(a^/dagger - a)//right)//right) //lvert S, m //rangle //n//$//n整理得：//n//$//nS^+ //lvert S, m //rangle = //frac{1}{//sqrt{2}}//left(//frac{1}{2}(1 + a^/dagger a) - i//frac{1}{2}(1 - a^/dagger a)//right) //lvert S, m //rangle //n//$//n根据 //$n = a^/dagger a//$，我们可以将其进一步简化为：//n//$//nS^+ //lvert S, m //rangle = //frac{1}{//sqrt{2}}//left(//frac{1}{2}(1 + n) - i//frac{1}{2}(1 - n)//right) //lvert S, m //rangle //n//$//n同理，可以得到：//n//$//nS^- //lvert S, m //rangle = //frac{1}{//sqrt{2}}//left(//frac{1}{2}(1 + n) + i//frac{1}{2}(1 - n)//right) //lvert S, m //rangle //n//$//n以及：//n//$//nS_z //lvert S, m //rangle = //frac{1}{2}(S^+_z + S^-_z) //lvert S, m //rangle = //frac{1}{2}//left(//frac{1}{2}(a^/dagger a - a^/dagger a) + //frac{1}{2}(a^/dagger a + a^/dagger a)//right) //lvert S, m //rangle = //frac{1}{2}n //lvert S, m //rangle //n//$//n综上所述，用 //$a//$ 和 //$a^/dagger//$ 可以表示出 //$S^/pm//$ 和 //$S_z//$：//n//$//nS^+ = //frac{1}{//sqrt{2}}//left(//frac{1}{2}(1 + n) - i//frac{1}{2}(1 - n)//right), //quad S^- = //frac{1}{//sqrt{2}}//left(//frac{1}{2}(1 + n) + i//frac{1}{2}(1 - n)//right), //quad S_z = //frac{1}{2}n //n//$