投资问题：动态规划求解最大收益方案

投资问题：m元钱n项投资，f(x)表示x元钱投入第i个项目取得的收益，现问如何选择投资方案可以使得投资获得的收益最大。1)给出目标函数。2)给出约束条件3)设F(x)表示x元钱投给前个项目的最大收益，在使用动态规划(备忘录方法或者迭代递推方法)求解投资问题时，给出F(x)的递推方程及其边界条件。4)使用动态规划(备忘录方法或者迭代递推方法) 求解投资问题时，当Fx)取得最大值时，给出标记函数xk(x)的意义及其递推方程。5)现有一个投资问题的实例:3万元钱，3个项目，效益函数如下表所示f(x)f(x)f(x)00001211227161511请填充下面的备忘录表Fk(x)和标记函数表xk(x)。备忘录表Fk(x) k 2 3 标记函数表xk(x) k 2 5)试通过标记函数x()反向追溯该构造上述问题实例的最优解 给出正确的解答步骤内容：1) 目标函数：找到投资方案使得投资获得的收益最大化，即求解max(f(x1) + f(x2) + ... + f(xn))

2. 约束条件：投资总额为m元钱，即x1 + x2 + ... + xn = m

3. F(x)的递推方程及边界条件： 递推方程：F(x) = max(f(x) + F(x-xi))，其中xi为投资x元钱到第i个项目上的收益 边界条件：F(0) = 0

4. 标记函数xk(x)的意义及递推方程： 标记函数xk(x)表示在投资x元钱时，取得最大收益的最后一个项目i的编号 递推方程：xk(x) = argmax(f(x) + F(x-xi))

5. 根据实例，填充备忘录表Fk(x)和标记函数表xk(x)： 备忘录表Fk(x) k 0 1 2 3 2 0 0 1 1 3 0 0 1 2

标记函数表xk(x) k 0 1 2 3 2 - - 1 2 5 - - - -

6. 反向追溯最优解： 根据标记函数表xk(x)，从最后一个项目开始反向追溯最优解： 当x=3时，xk(3) = 2，表示投资3万元钱时，最后一个项目为项目2； 当x=3-2=1时，xk(1) = 1，表示投资1万元钱时，最后一个项目为项目1； 当x=1-1=0时，xk(0) = 0，表示投资0万元钱时，最后一个项目为项目0； 因此，最优解为投资3万元钱，分别投资项目2、项目1、项目0。