自旋算符与湮灭产生算符的关系：用 a 和 a† 表示 S± 和 Sz

我们可以将自旋算符$S_x$和$S_y$表示为湮灭和产生算符的组合：\n\n$$\nS_x = \frac{1}{2}(S^+ + S^-), \quad S_y = \frac{1}{2i}(S^+ - S^-)\n$$\n\n将上述关系式代入，可以得到：\n\n$$\nS^+ = 2S_x - S_z, \quad S^- = 2S_y + S_z\n$$\n\n然后我们可以用$a$和$a^\dagger$表示$S_x$和$S_y$：\n\n$$\nS_x = \frac{1}{2}(a^\dagger + a), \quad S_y = \frac{1}{2i}(a^\dagger - a)\n$$\n\n再将上述关系式代入，可以得到：\n\n$$\nS^+ = \sqrt{2}(a^\dagger)^2 - a^\dagger a, \quad S^- = \sqrt{2}a^2 - a^\dagger a\n$$\n\n最后我们可以用$a$和$a^\dagger$表示$S^\pm$和$S_z$：\n\n$$\nS^\pm = \frac{\sqrt{2}}{2}(a^\dagger)^2 - \frac{1}{2}a^\dagger a, \quad S_z = \frac{1}{2}(a^\dagger a - a^\dagger a)\n$$