角动量算符 S+ 和 S- 的表示方法及与玻色子湮灭和产生算符的关系

"根据已知关系式" $S^\pm \ket{S,m} = \sqrt{(S \mp m )(S\pm m +1)}\ket{S,m\pm 1}$", "我们可以将" $S^\pm$" 表示为" $S_z$" 和" $S^\pm$" 的线性组合。"假设存在常数" $a$" 和" $b$", "使得" $\S^\pm = a S_z + b S^\pm$$\$ "将上式两边作用于" $\ket{S,m}$", "得到" $\S^\pm \ket{S,m} = (a S_z + b S^\pm) \ket{S,m}$$\$ $\sqrt{(S \mp m )(S\pm m +1)}\ket{S,m\pm 1} = a m \ket{S,m} + b S^\pm \ket{S,m}$$\$ "由于" $\ket{S,m}$ "是角动量算符" $S_z$" 的本征态，我们可以得到以下关系：$\sqrt{(S \mp m )(S\pm m +1)}\ket{S,m\pm 1} = a m \ket{S,m} + b \sqrt{(S \mp m )(S\pm m +1)}\ket{S,m\pm 1}$$\$ "两边同时除以" $\sqrt{(S \mp m )(S\pm m +1)}$", "得到" $\ \ket{S,m\pm 1} = a m \ket{S,m} + b \ket{S,m\pm 1}$$\$ "由于" $\ket{S,m\pm 1}$ "和" $\ket{S,m}$ "是正交的，所以上式成立的唯一解是" $a = 0$", "$b = 1$", "即" $\S^\pm = S^\pm$$\$ "因此，我们可以用" $S^\pm$" 表示" $S^\pm$" 和" $S_z$ ":$\S^\pm = S_x \pm i S_y$$\$ \"如果我们将" $S^\pm$" 表示为" $a$" 和" $a^\dagger$", "我们可以将其与玻色子的湮灭和产生算符关联起来。我们可以将" $S^\pm$" 表示为" $S_x$" 和" $S_y$" 的线性组合：$\S^\pm = S_x \pm i S_y$$\$ "然后我们可以将" $S_x$" 和" $S_y$" 表示为" $a$" 和" $a^\dagger$ ":$\S_x = \frac{1}{2}(a + a^\dagger)$$\$ $\S_y = \frac{1}{2i}(a - a^\dagger)$$\$ "将上面两个式子代入" $S^\pm$" 的表达式中，得到" $\S^\pm = \frac{1}{2}(a + a^\dagger) \pm i \frac{1}{2i}(a - a^\dagger)$$\$ "化简得到" $\S^\pm = \frac{1}{2}(a + a^\dagger) \pm \frac{1}{2}(a - a^\dagger)$$\$ "合并同类项，得到" $\S^\pm = a$$\$ $\S^\pm = a^\dagger$$\$ "因此，我们可以用" $a$" 和" $a^\dagger$" 表示" $S^\pm$" 和" $S_z$ ":$\S^\pm = a$$\$ $\S_z = \frac{1}{2}(a^\dagger a - a a^\dagger)$$\$