Hubbard 模型格林函数计算：Anderson 局域磁矩理论近似

在 Anderson 局域磁矩理论中，我们可以采用自洽平均场近似来计算格林函数 (\langle\langle c_\sigma|c_\sigma^\dagger\rangle\rangle)。在自洽平均场近似中，我们假设每个电子只受到平均场的作用，而忽略了电子之间的相互作用。\n\n首先，我们可以将哈密顿量 (H) 写成更方便的形式：\n\n$$\nH = \sum_\sigma \varepsilon_0 c_\sigma^\dagger c_\sigma + U n_\uparrow n_\downarrow\n$$\n其中，$\varepsilon_0$ 表示单个电子的能级，$(c_\sigma^\dagger)$ 和 $(c_\sigma)$ 分别表示产生算符和湮灭算符，$(n_\uparrow)$ 和 $(n_\downarrow)$ 分别表示自旋向上和自旋向下的电子数算符。\n\n接下来，我们可以使用退化 Perturbation Theory 来计算格林函数。首先，我们将产生算符和湮灭算符按照自旋的不同进行分解：\n\n$$\nc_\sigma^\dagger = f_\sigma^\dagger d^\dagger\n$$\n$$\nc_\sigma = d f_\sigma\n$$\n其中，$(f_\sigma^\dagger)$ 和 $(f_\sigma)$ 分别表示自旋 $\sigma$ 的费米子产生算符和湮灭算符，$(d^\dagger)$ 和 $(d)$ 分别表示局域磁矩的产生算符和湮灭算符。\n\n然后，我们可以将格林函数表示为：\n\n$$\n\langle\langle c_\sigma|c_\sigma^\dagger\rangle\rangle = -i\int_{-\infty}^\infty dt e^{i\omega t}\langle T[c_\sigma(t)c_\sigma^\dagger(0)]\rangle\n$$\n其中，$\omega$ 表示频率，$(T)$ 表示编时算符，$\langle\cdots\rangle$ 表示统计平均。\n\n将上述的费米子产生算符和湮灭算符代入格林函数的表达式中，我们可以得到：\n\n$$\n\langle\langle c_\sigma|c_\sigma^\dagger\rangle\rangle = -i\int_{-\infty}^\infty dt e^{i\omega t}\langle T[(d f_\sigma)(f_\sigma^\dagger d^\dagger)]\rangle\n$$\n$$\n= -i\int_{-\infty}^\infty dt e^{i\omega t}\langle T[df_\sigma f_\sigma^\dagger d^\dagger]\rangle\n$$\n$$\n= -i\int_{-\infty}^\infty dt e^{i\omega t}\langle T[f_\sigma f_\sigma^\dagger]\rangle\langle T[d d^\dagger]\rangle\n$$\n由于我们采用了自洽平均场近似，所以电子之间的相互作用被忽略，即 $\langle T[f_\sigma f_\sigma^\dagger]\rangle = \langle T[f_\sigma]\rangle\langle T[f_\sigma^\dagger]\rangle$。另外，由于局域磁矩的产生算符和湮灭算符是正交的，即 $\langle T[d d^\dagger]\rangle = \langle T[d]\rangle\langle T[d^\dagger]\rangle$。因此，格林函数可以简化为：\n\n$$\n\langle\langle c_\sigma|c_\sigma^\dagger\rangle\rangle = -i\int_{-\infty}^\infty dt e^{i\omega t}\langle T[f_\sigma]\rangle\langle T[f_\sigma^\dagger]\rangle\langle T[d]\rangle\langle T[d^\dagger]\rangle\n$$\n\n最后，我们可以根据自洽平均场近似的假设，将费米子产生算符和湮灭算符的期望值表示为：\n\n$$\n\langle T[f_\sigma]\rangle = \frac{1}{Z}\text{Tr}(e^{-\beta H_0}f_\sigma)\n$$\n$$\n\langle T[f_\sigma^\dagger]\rangle = \frac{1}{Z}\text{Tr}(e^{-\beta H_0}f_\sigma^\dagger)\n$$\n$$\n\langle T[d]\rangle = \frac{1}{Z}\text{Tr}(e^{-\beta H_0}d)\n$$\n$$\n\langle T[d^\dagger]\rangle = \frac{1}{Z}\text{Tr}(e^{-\beta H_0}d^\dagger)\n$$\n其中，$(Z=\text{Tr}(e^{-\beta H_0}))$ 表示配分函数，$(H_0=\sum_\sigma\varepsilon_0 f_\sigma^\dagger f_\sigma)$ 表示不考虑相互作用的哈密顿量。\n\n综上所述，格林函数 $\langle\langle c_\sigma|c_\sigma^\dagger\rangle\rangle$ 的表达式为：\n\n$$\n\langle\langle c_\sigma|c_\sigma^\dagger\rangle\rangle = -i\int_{-\infty}^\infty dt e^{i\omega t}\frac{1}{Z}\text{Tr}(e^{-\beta H_0}f_\sigma)\frac{1}{Z}\text{Tr}(e^{-\beta H_0}f_\sigma^\dagger)\frac{1}{Z}\text{Tr}(e^{-\beta H_0}d)\frac{1}{Z}\text{Tr}(e^{-\beta H_0}d^\dagger)\n$$\n