Hubbard 模型格林函数求解：Dyson 方程方法

在 Hubbard 近似下，格林函数的形式可以通过 Dyson 方程来求解。对于给定的自旋 (\sigma)，我们有：\n\n$$\n\langle\langle c_\sigma | c_\sigma^\dagger \rangle\rangle = \langle c_\sigma | c_\sigma^\dagger \rangle + \sum_k \langle c_\sigma | H_{\text{int}} | k\rangle \frac{1}{E - \varepsilon_k} \langle k | c_\sigma^\dagger \rangle\n$$\n其中，(H_{\text{int}} = Un_{\uparrow}n_{\downarrow}) 是相互作用哈密顿量，(E) 是能量，(\varepsilon_k) 是动量为 (k) 的单粒子能级。\n\n首先，我们考虑第一项 (\langle c_\sigma | c_\sigma^\dagger \rangle)。由于 (c_\sigma) 和 (c_\sigma^\dagger) 是费米子算符，我们有 ({c_\sigma, c_\sigma^\dagger} = 1)，因此第一项为 (1)。\n\n接下来，我们考虑第二项。由于 Hubbard 模型中的相互作用项只与自旋有关，我们可以将单粒子态 (k) 分为自旋向上和自旋向下的两部分，即 (k = (k_{\uparrow}, k_{\downarrow}))。那么，我们可以将第二项写为：\n\n$$\n\sum_k \langle c_\sigma | H_{\text{int}} | k\rangle \frac{1}{E - \varepsilon_k} \langle k | c_\sigma^\dagger \rangle = \sum_{k_{\uparrow}} \langle c_\sigma | H_{\text{int}} | k_{\uparrow}\rangle \frac{1}{E - \varepsilon_{k_{\uparrow}}} \langle k_{\uparrow} | c_\sigma^\dagger \rangle + \sum_{k_{\downarrow}} \langle c_\sigma | H_{\text{int}} | k_{\downarrow}\rangle \frac{1}{E - \varepsilon_{k_{\downarrow}}} \langle k_{\downarrow} | c_\sigma^\dagger \rangle\n$$\n根据 Hubbard 模型的相互作用项 (H_{\text{int}} = Un_{\uparrow}n_{\downarrow})，我们可以将其展开为：\n\n$$\nH_{\text{int}} = Un_{\uparrow}n_{\downarrow} = U\left(c_{\uparrow}^\dagger c_{\uparrow}\right) \left(c_{\downarrow}^\dagger c_{\downarrow}\right) = U n_{\uparrow} n_{\downarrow}\n$$\n其中，(n_{\uparrow} = c_{\uparrow}^\dagger c_{\uparrow}) 表示自旋向上的粒子数算符，(n_{\downarrow} = c_{\downarrow}^\dagger c_{\downarrow}) 表示自旋向下的粒子数算符。因此，我们有 (\langle c_\sigma | H_{\text{int}} | k_{\sigma'}\rangle = U\langle c_\sigma | n_{\uparrow} n_{\downarrow} | k_{\sigma'}\rangle = U\langle c_\sigma | n_{\uparrow} | k_{\sigma'}\rangle \langle c_\sigma | n_{\downarrow} | k_{\sigma'}\rangle)。\n\n考虑到自旋算符与粒子数算符的定义，我们可以得到 (\langle c_\sigma | n_{\uparrow} | k_{\sigma'}\rangle = \delta_{\sigma,\sigma'}\langle c_\sigma | c_\sigma^\dagger | k_{\sigma'}\rangle = \delta_{\sigma,\sigma'})，以及 (\langle c_\sigma | n_{\downarrow} | k_{\sigma'}\rangle = \delta_{\sigma,\sigma'}\langle c_\sigma | c_\sigma^\dagger | k_{\sigma'}\rangle = \delta_{\sigma,\sigma'})。因此，我们有 (\langle c_\sigma | H_{\text{int}} | k_{\sigma'}\rangle = U\delta_{\sigma,\sigma'})。\n\n最后，我们将第二项写为：\n\n$$\n\sum_{k_{\sigma}} \langle c_\sigma | H_{\text{int}} | k_{\sigma}\rangle \frac{1}{E - \varepsilon_{k_{\sigma}}} \langle k_{\sigma} | c_\sigma^\dagger \rangle + \sum_{k_{\sigma}} \langle c_\sigma | H_{\text{int}} | k_{\sigma}\rangle \frac{1}{E - \varepsilon_{k_{\sigma}}} \langle k_{\sigma} | c_\sigma^\dagger \rangle = U\sum_{k_{\sigma}} \frac{1}{E - \varepsilon_{k_{\sigma}}}\n$$\n综上所述，格林函数 (\langle\langle c_\sigma | c_\sigma^\dagger \rangle\rangle) 的形式为：\n\n$$\n\langle\langle c_\sigma | c_\sigma^\dagger \rangle\rangle = 1 + U\sum_{k_{\sigma}} \frac{1}{E - \varepsilon_{k_{\sigma}}}\n$$\n其中，(\sum_{k_{\sigma}}) 表示对自旋 (\sigma) 的所有单粒子态求和。\n