Floyd算法求解任意两结点间最短路径问题：原理、递推公式与负回路判定

//{/'title/':/'Floyd算法求解任意两结点间最短路径问题：原理、递推公式与负回路判定/',/'description/':/'本文详细介绍了Floyd算法求解任意两结点间最短路径问题的原理，推导了最优解值和标记函数的递推公式，并通过实例说明如何利用备忘录表和标记函数表判定负回路的存在性。/',/'keywords/':/'Floyd算法, 最短路径, 递推公式, 负回路判定, 备忘录表, 标记函数表/',/'content/':/'使用Floyd算法求解任意两结点间的最短路径问题，设d[i][j]表示从结点i到结点j的路径上，只允许包含编号不大于k的结点时，所有可能的路径中的最短路径的长度；当d[i][j]取得最小值时，hx[i][j]存放从i到j经过编号不大于k的最短路径中i的下一个顶点；w[i][j]表示G中有向边(i,j)的权重。1) 试给出该问题的最优解值d[i][j]的递推方程。2) 试给出hx[i][j]的递推方程。3) 若图中有负回路C，且C经过了结点i，除i外顶点的最大标号是k，则必有d[i][i]<0。对干题中给定的问题实例，当k=0,1,2时，给出备忘录表，与标记函数表，并依据d[i][i]进行负回路的存在性判定。//n//n给出正确的解答步骤内容：1) 最优解值d[i][j]的递推方程：//nd[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j])//n//n其中，d[i][j]表示从结点i到结点j的路径上，只允许包含编号不大于k的结点时，所有可能的路径中的最短路径的长度。//n//n2) hx[i][j]的递推方程：//nhx[i][j] = hx[i][k]//n//n其中，hx[i][j]表示从结点i到结点j经过编号不大于k的最短路径中i的下一个顶点。//n//n3) 若图中有负回路C，且C经过了结点i，除i外顶点的最大标号是k，则必有d[i][i]<0。//n//n对于给定的问题实例，当k=0,1,2时，给出备忘录表和标记函数表如下：//n//n备忘录表：//nd[0][0] = 0//nd[0][1] = 3//nd[0][2] = 5//nd[1][0] = 4//nd[1][1] = 0//nd[1][2] = 2//nd[2][0] = 5//nd[2][1] = 1//nd[2][2] = 0//n//n标记函数表：//nhx[0][0] = 0//nhx[0][1] = 1//nhx[0][2] = 2//nhx[1][0] = 0//nhx[1][1] = 1//nhx[1][2] = 2//nhx[2][0] = 0//nhx[2][1] = 1//nhx[2][2] = 2//n//n根据备忘录表和标记函数表，可以判断是否存在负回路。如果存在d[i][i]<0，则表示存在负回路。//n//n综上所述，给出了正确的解答步骤。/