铁磁体低能单点激发能量计算：自旋角动量算符和玻色子湮灭/产生算符

首先，我们需要将哈密顿量用自旋角动量算符表示出来。根据已知的关系式，我们可以将哈密顿量中的自旋算符替换为自旋角动量算符：\n$$\nH = - J\sum\limits_{l\delta} \left[ S_l^zS^z_{l+\delta} + \frac12(S^+lS^-{l+\delta} + S^-lS^+{l+\delta}) \right]\n=- J\sum\limits_{l\delta} \left[ S_l^zS^z_{l+\delta} + \frac12(S_l^xS_{l+\delta}^x + S_l^yS_{l+\delta}^y) \right].\n$$\n接下来，我们来计算铁磁体的低能单点激发能量。单点激发可以看做是将一个自旋翻转，即从自旋态 $\ket{S,m}$ 到 $\ket{S,m+1}$。根据已知的关系式 $S^\pm \ket{S,m} = \sqrt{(S \mp m )(S\pm m +1)}\ket{S,m\pm 1}$，我们可以得到：\n$$\nS^+ \ket{S,m} = \sqrt{(S - m )(S+ m +1)}\ket{S,m+1}.\n$$\n将其代入哈密顿量中，可以得到：\n$$\nH = - J\sum\limits_{l\delta} \left[ S_l^zS^z_{l+\delta} + \frac12(S_l^xS_{l+\delta}^x + S_l^yS_{l+\delta}^y) \right]\n= - J\sum\limits_{l\delta} \left[ S_l^zS^z_{l+\delta} + \frac12(S_l^xS_{l+\delta}^x + S_l^yS_{l+\delta}^y) \right] \n= - J\sum\limits_{l\delta} \left[ S_l^zS^z_{l+\delta} + \frac12\left(\frac{1}{2}(S_l^+ + S_l^-)(S_{l+\delta}^+ + S_{l+\delta}^-) + \frac{1}{2i}(S_l^+ - S_l^-)(S_{l+\delta}^+ - S_{l+\delta}^-) \right) \right] \n= - J\sum\limits_{l\delta} \left[ S_l^zS^z_{l+\delta} + \frac12\left(\frac{1}{2}(S_l^+S_{l+\delta}^+ + S_l^+S_{l+\delta}^- + S_l^-S_{l+\delta}^+ + S_l^-S_{l+\delta}^-) + \frac{1}{2i}(S_l^+S_{l+\delta}^+ - S_l^+S_{l+\delta}^- - S_l^-S_{l+\delta}^+ + S_l^-S_{l+\delta}^-) \right) \right].\n$$\n我们可以看到，自旋算符的 $S_l^zS^z_{l+\delta}$ 项不会改变自旋态的 $m$ 值，而 $S_l^+S_{l+\delta}^+$ 和 $S_l^-S_{l+\delta}^-$ 项会改变自旋态的 $m$ 值。因此，只有这两项会对能量产生影响。我们来分别计算这两项的贡献。\n\n首先考虑 $S_l^zS^z_{l+\delta}$ 项。在自旋态 $\ket{S,m}$ 下，$S_l^z$ 的本征值为 $m$，$S_{l+\delta}^z$ 的本征值为 $m+1$。因此，$S_l^zS^z_{l+\delta}$ 的本征值为 $m(m+1)$。这一项不会改变自旋态的 $m$ 值，因此对能量没有贡献。\n\n接下来考虑 $S_l^+S_{l+\delta}^+$ 项。根据已知的关系式 $S^+ \ket{S,m} = \sqrt{(S - m )(S+ m +1)}\ket{S,m+1}$，我们可以得到：\n$$\nS_l^+S_{l+\delta}^+\ket{S,m} = \sqrt{(S - m )(S+ m +1)}\sqrt{(S - (m+1) )(S+ (m+1) +1)}\ket{S,m+2}.\n$$\n这一项会改变自旋态的 $m$ 值，从而对能量产生贡献。同样地，我们可以计算 $S_l^-S_{l+\delta}^-$ 项的贡献：\n$$\nS_l^-S_{l+\delta}^-\ket{S,m} = \sqrt{(S + m )(S- m +1)}\sqrt{(S + (m-1) )(S- (m-1) +1)}\ket{S,m-2}.\n$$\n这一项也会改变自旋态的 $m$ 值。\n\n综上所述，只有 $S_l^+S_{l+\delta}^+$ 和 $S_l^-S_{l+\delta}^-$ 两项对能量产生贡献，且贡献相等。因此，铁磁体的低能单点激发能量为：\n$$\n\Delta E = - J\sum\limits_{l\delta} \frac12\left(\sqrt{(S - m )(S+ m +1)}\sqrt{(S - (m+1) )(S+ (m+1) +1)} + \sqrt{(S + m )(S- m +1)}\sqrt{(S + (m-1) )(S- (m-1) +1)} \right) \n= - J\sum\limits_{l\delta} \frac12\left(\sqrt{(S - m )(S+ m +1)(S - (m+1) )(S+ (m+1) +1)} + \sqrt{(S + m )(S- m +1)(S + (m-1) )(S- (m-1) +1)} \right).\n$$