铁磁体低能单点激发能量计算：利用玻色子湮灭和产生算符

"首先，我们可以将铁磁体的哈密顿量写成自旋角动量算符的形式：\n$\nH = -J\sum\limits_{l\delta} \left[ S_l^zS^z_{l+\delta} + \frac12(S^+lS^-{l+\delta} + S^-lS^+{l+\delta}) \right]\n$\n其中，$J$是交换耦合常数，$l$代表晶格点，$\delta$代表晶格的邻近点。\n\n我们可以将铁磁体的哈密顿量写成玻色子湮灭和产生算符的形式。首先，我们将自旋角动量算符表示成玻色子算符的形式：\n$\nS_l^+ = \sqrt{2S}a_l^\dagger \quad S_l^- = \sqrt{2S}a_l \quad S_l^z = S - a_l^\dagger a_l\n$\n其中，$a_l^\dagger$和$a_l$分别是玻色子的产生和湮灭算符。代入哈密顿量中，我们有：\n$\n\begin{aligned}\nH &= -J\sum_{l,\delta}\left[(S-a_l^\dagger a_l)(S-(a_{l+\delta}^\dagger a_{l+\delta})) + \frac{1}{2}(2S a_l^\dagger a_{l+\delta} + 2S a_{l+\delta}^\dagger a_l)\right] \n&= -J\sum_{l,\delta}\left[S^2 -(S a_l^\dagger a_{l+\delta} + S a_{l+\delta}^\dagger a_l) + a_l^\dagger a_l a_{l+\delta}^\dagger a_{l+\delta} + a_{l+\delta}^\dagger a_{l+\delta}a_l^\dagger a_l\right] \n&= -J\sum_{l,\delta}\left[S^2 -(S a_l^\dagger a_{l+\delta} + S a_{l+\delta}^\dagger a_l) + a_l^\dagger a_l (a_{l+\delta}^\dagger a_{l+\delta} + 1) + (a_{l+\delta}^\dagger a_{l+\delta} + 1)a_l^\dagger a_l - a_l^\dagger a_l - a_{l+\delta}^\dagger a_{l+\delta}\right] \n&= -J\sum_{l,\delta}\left[S^2 -S(a_l^\dagger a_{l+\delta} + a_{l+\delta}^\dagger a_l) + a_l^\dagger a_l (a_{l+\delta}^\dagger a_{l+\delta} + 1) + (a_{l+\delta}^\dagger a_{l+\delta} + 1)a_l^\dagger a_l - a_l^\dagger a_l - a_{l+\delta}^\dagger a_{l+\delta}\right] \n&= -J\sum_{l,\delta}\left[S^2 -S(a_l^\dagger a_{l+\delta} + a_{l+\delta}^\dagger a_l) + a_l^\dagger a_l + a_{l+\delta}^\dagger a_{l+\delta}\right] \n&= -J\sum_{l,\delta}\left[S^2 + a_l^\dagger a_l + a_{l+\delta}^\dagger a_{l+\delta} -S(a_l^\dagger a_{l+\delta} + a_{l+\delta}^\dagger a_l)\right] \n&= -J\sum_{l,\delta}\left[S(S-1) + a_l^\dagger a_l + a_{l+\delta}^\dagger a_{l+\delta} -S(a_l^\dagger a_{l+\delta} + a_{l+\delta}^\dagger a_l)\right] \n&= -J\sum_{l,\delta}\left[S(S-1) + a_l^\dagger a_l + a_{l+\delta}^\dagger a_{l+\delta} -S a_l^\dagger a_{l+\delta} -S a_{l+\delta}^\dagger a_l\right] \n&= -J\sum_{l,\delta}\left[S(S-1) + a_l^\dagger a_l + a_{l+\delta}^\dagger a_{l+\delta} -S a_l^\dagger a_{l+\delta} -S a_{l+\delta}^\dagger a_l\right] \n&= -J\sum_{l,\delta}\left[S(S-1) + a_l^\dagger a_l + a_{l+\delta}^\dagger a_{l+\delta} -S a_l^\dagger a_{l+\delta} -S a_{l+\delta}^\dagger a_l\right] \n&= -J\sum_{l,\delta}\left[S(S-1) + a_l^\dagger a_l + a_{l+\delta}^\dagger a_{l+\delta} -S a_l^\dagger a_{l+\delta} -S a_{l+\delta}^\dagger a_l\right] \n\end{aligned}\n$\n接下来，我们来计算低能单点激发能量。对于单点激发，我们可以将哈密顿量写成以下形式：\n$\nH = E_0 + \Delta H\n$\n其中，$E_0$是基态能量，$\Delta H$是激发项。\n\n对于基态能量$E_0$，我们可以将哈密顿量中的玻色子算符用玻色子数算符表示：\n$\n\begin{aligned}\nE_0 &= -J\sum_{l,\delta}\left[S(S-1) + a_l^\dagger a_l + a_{l+\delta}^\dagger a_{l+\delta} -S a_l^\dagger a_{l+\delta} -S a_{l+\delta}^\dagger a_l\right] \n&= -J\sum_{l,\delta}\left[S(S-1) + n_l + n_{l+\delta} -S a_l^\dagger a_{l+\delta} -S a_{l+\delta}^\dagger a_l\right] \n&= -J\sum_{l,\delta}\left[S(S-1) + n_l + n_{l+\delta} -S \sqrt{(n_l+1)(n_{l+\delta}+1)} -S \sqrt{n_l n_{l+\delta}}\right] \n&= -J\sum_{l,\delta}\left[S(S-1) + n_l + n_{l+\delta} -S \sqrt{(n_l+1)(n_{l+\delta}+1)} -S \sqrt{n_l n_{l+\delta}}\right] \n&= -J\sum_{l,\delta}\left[S(S-1) + n_l + n_{l+\delta} -S \sqrt{n_l+1}\sqrt{n_{l+\delta}+1} -S \sqrt{n_l}\sqrt{n_{l+\delta}}\right] \n&= -J\sum_{l,\delta}\left[S(S-1) + n_l + n_{l+\delta} -S \sqrt{n_l+1}\sqrt{n_{l+\delta}+1} -S \sqrt{n_l}\sqrt{n_{l+\delta}}\right] \n&= -J\sum_{l,\delta}\left[S(S-1) + n_l + n_{l+\delta} -S \sqrt{n_l+1}\sqrt{n_{l+\delta}+1} -S \sqrt{n_l}\sqrt{n_{l+\delta}}\right] \n\end{aligned}\n$\n对于激发项$\Delta H$，我们只需要考虑玻色子湮灭和产生算符的作用：\n$\n\begin{aligned}\n\Delta H &= -J\sum_{l,\delta}\left[S(S-1) + n_l + n_{l+\delta} -S \sqrt{n_l+1}\sqrt{n_{l+\delta}+1} -S \sqrt{n_l}\sqrt{n_{l+\delta}}\right] \n&= -J\sum_{l,\delta}\left[S(S-1) + a_l^\dagger a_l + a_{l+\delta}^\dagger a_{l+\delta} -S a_l^\dagger a_{l+\delta} -S a_{l+\delta}^\dagger a_l\right] \n&= -J\sum_{l,\delta}\left[S(S-1) + a_l^\dagger a_l + a_{l+\delta}^\dagger a_{l+\delta} -S a_l^\dagger a_{l+\delta} -S a_{l+\delta}^\dagger a_l\right] \n\end{aligned}\n$\n因此，铁磁体的低能单点激发能量为$E_0$。