铁磁体的低能单点激发能量计算

我们要计算铁磁体的低能单点激发能量，即计算激发态与基态之间的能量差。我们知道基态是所有自旋都向上取向的状态，即'↑ ↑ ↑…'。/n/n首先，我们来计算激发态'S, m'。由于我们要计算的是单点激发，即只有一个自旋发生变化，所以我们可以将哈密顿量中的相互作用项展开为只涉及一个自旋的项。假设我们激发了第 i 个自旋，那么在哈密顿量中只有 S_i^z S_{i+/delta}^z 和 S_i^+ S_{i+/delta}^- 两项与激发相关。其他自旋的项都是常数，对能量差没有影响。/n/n首先考虑 S_i^z S_{i+/delta}^z 项，由于我们只激发了第 i 个自旋，所以只有 S_i^z 与 S_{i+/delta}^z 的期望值有变化。在基态中，所有自旋向上取向，所以 S_i^z 和 S_{i+/delta}^z 的期望值都是 S。而在激发态'S, m' 中，只有第 i 个自旋向下取向，所以 S_i^z 的期望值为 -S，而 S_{i+/delta}^z 的期望值仍然为 S。所以 S_i^z S_{i+/delta}^z 的期望值变化为 -S^2 - S^2 = -2S^2。/n/n接下来考虑 S_i^+ S_{i+/delta}^- 项。在基态中，所有自旋都向上取向，所以 S_i^+ 和 S_{i+/delta}^- 的期望值都是 0。而在激发态'S, m' 中，只有第 i 个自旋向下取向，所以 S_i^+ 的期望值为 0，而 S_{i+/delta}^- 的期望值为 √(S - m)(S + m + 1)。所以 S_i^+ S_{i+/delta}^- 的期望值变化为 0 - √(S - m)(S + m + 1)。/n/n将上述结果代入铁磁体的哈密顿量中，我们可以得到单点激发态与基态之间的能量差为：/n/n$//Delta E = -J//sum_{//delta}//left(-2S^2 - //frac{1}{2}//sqrt{(S-m)(S+m+1)}//right)$/n/n注意到 $//sum_{//delta}$ 表示对所有相邻自旋求和，所以在三维空间中，每个自旋有 6 个邻居。代入 $//Delta E$ 的表达式，我们可以得到铁磁体的低能单点激发能量。