铁磁体低能单点激发能量计算 - 基于玻色子产生湮灭算符

{"title":"一个体系的自旋角动量量子数和磁量子数分别为 S, m. 同时定义$S^\pm = S_x \pm i S_y$\则容易得出：$S^\pm \ket{S,m} = \sqrt{(S \mp m )(S\pm m +1)}\ket{S,m\pm 1}$。知道玻色子湮灭\和产生算符有如下关系式：$a\ket{n} = \sqrt{n+1} \ket{n-1}, a^\dagger\ket{n}= \sqrt{n+1}\ket{n+1}, n = a^\dagger a$。由上述结果计算铁磁体的低能单点激发能量。已知铁磁体哈密顿量为$H = - J\sum\limits_{l\delta} \left[ S_l^zS^z_{l+\delta} + \frac12(S^+lS^-{l+\delta} + S^-lS^+{l+\delta}) \right]$","description":"本文推导了铁磁体哈密顿量在玻色子产生湮灭算符表示下的形式，并计算了低能单点激发的能量。结果表明，铁磁体的低能激发是无能隙的，能量为零。","keywords":"铁磁体, 低能激发, 玻色子产生湮灭算符, 哈密顿量, 自旋角动量, 能隙","content":"根据给定的哈密顿量，我们可以将其写成自旋角动量算符的形式：\n$$\nH = -J\sum_{l\delta} \left[S_l^z S_{l+\delta}^z + \frac{1}{2}(S_l^+ S_{l+\delta}^- + S_l^- S_{l+\delta}^+)\right]\n$$\n\n我们可以将自旋角动量算符用产生湮灭算符表示出来，即 $S_l^z = \frac{1}{2}(a_l^\dagger a_l - b_l^\dagger b_l)$，$S_l^+ = a_l^\dagger b_l$，$S_l^- = b_l^\dagger a_l$。其中，$a_l^\dagger$ 和 $b_l^\dagger$ 是玻色子的产生算符。\n\n将这些代入哈密顿量中，我们可以得到：\n$$\n\begin{aligned}\nH &= -J\sum_{l\delta} \left[\frac{1}{4}(a_l^\dagger a_l - b_l^\dagger b_l)(a_{l+\delta}^\dagger a_{l+\delta} - b_{l+\delta}^\dagger b_{l+\delta}) + \frac{1}{2}(a_l^\dagger b_l)(b_{l+\delta}^\dagger a_{l+\delta}) + \frac{1}{2}(b_l^\dagger a_l)(a_{l+\delta}^\dagger b_{l+\delta})\right] \n&= -\frac{J}{4}\sum_{l\delta} [(a_l^\dagger a_l a_{l+\delta}^\dagger a_{l+\delta} - a_l^\dagger a_l b_{l+\delta}^\dagger b_{l+\delta} - b_l^\dagger b_l a_{l+\delta}^\dagger a_{l+\delta} + b_l^\dagger b_l b_{l+\delta}^\dagger b_{l+\delta}) \n&\quad + 2(a_l^\dagger b_l b_{l+\delta}^\dagger a_{l+\delta} + b_l^\dagger a_l a_{l+\delta}^\dagger b_{l+\delta})] \n&= -\frac{J}{4}\sum_{l\delta} [(a_l^\dagger a_{l+\delta}^\dagger a_l a_{l+\delta} - a_l^\dagger a_{l+\delta}^\dagger b_l b_{l+\delta} - b_l^\dagger b_{l+\delta}^\dagger a_l a_{l+\delta} + b_l^\dagger b_{l+\delta}^\dagger b_l b_{l+\delta}) \n&\quad + 2(a_l^\dagger b_{l+\delta}^\dagger b_l a_{l+\delta} + b_{l+\delta}^\dagger a_l a_{l+\delta}^\dagger b_l)] \n&= -\frac{J}{4}\sum_{l\delta} [(a_l^\dagger a_{l+\delta}^\dagger a_l a_{l+\delta} - a_l^\dagger a_{l+\delta}^\dagger b_l b_{l+\delta} - b_l^\dagger b_{l+\delta}^\dagger a_l a_{l+\delta} + b_l^\dagger b_{l+\delta}^\dagger b_l b_{l+\delta}) \n&\quad + 2(a_l^\dagger b_{l+\delta}^\dagger b_l a_{l+\delta} + b_{l+\delta}^\dagger a_l a_{l+\delta}^\dagger b_l)] \n\end{aligned}\n$$\n\n接下来，我们需要考虑低能单点激发。假设激发发生在格点 $l$ 处，即只有 $a_l^\dagger$ 或 $b_l^\dagger$ 不为零，其余格点上的产生湮灭算符为零。我们将只保留与 $l$ 相关的项，并重新排列哈密顿量的形式：\n$$\n\begin{aligned}\nH &= -\frac{J}{4}\sum_\delta [(a_l^\dagger a_{l+\delta}^\dagger a_l a_{l+\delta} - a_l^\dagger a_{l+\delta}^\dagger b_l b_{l+\delta} - b_l^\dagger b_{l+\delta}^\dagger a_l a_{l+\delta} + b_l^\dagger b_{l+\delta}^\dagger b_l b_{l+\delta}) \n&\quad + 2(a_l^\dagger b_{l+\delta}^\dagger b_l a_{l+\delta} + b_{l+\delta}^\dagger a_l a_{l+\delta}^\dagger b_l)] \n&= -\frac{J}{4}\sum_\delta [(a_l^\dagger a_{l+\delta}^\dagger a_l a_{l+\delta} - a_l^\dagger a_{l+\delta}^\dagger b_l b_{l+\delta} - b_l^\dagger b_{l+\delta}^\dagger a_l a_{l+\delta} + b_l^\dagger b_{l+\delta}^\dagger b_l b_{l+\delta}) \n&\quad + 2(a_l^\dagger b_{l+\delta}^\dagger b_l a_{l+\delta} + b_{l+\delta}^\dagger a_l a_{l+\delta}^\dagger b_l)] \n&= -\frac{J}{4}\sum_\delta [(a_l^\dagger a_{l+\delta}^\dagger a_l a_{l+\delta} - a_l^\dagger a_{l+\delta}^\dagger b_l b_{l+\delta} - b_l^\dagger b_{l+\delta}^\dagger a_l a_{l+\delta} + b_l^\dagger b_{l+\delta}^\dagger b_l b_{l+\delta}) \n&\quad + 2(a_l^\dagger b_{l+\delta}^\dagger b_l a_{l+\delta} + b_{l+\delta}^\dagger a_l a_{l+\delta}^\dagger b_l)] \n&= \frac{J}{4}(a_l^\dagger a_l a_l^\dagger a_l - a_l^\dagger a_l b_l^\dagger b_l - b_l^\dagger b_l a_l^\dagger a_l + b_l^\dagger b_l b_l^\dagger b_l) + J(a_l^\dagger b_l^\dagger b_l a_l + b_l^\dagger a_l a_l^\dagger b_l) \n&= \frac{J}{4}(2a_l^\dagger a_l + 2b_l^\dagger b_l - a_l^\dagger a_l b_l^\dagger b_l - b_l^\dagger b_l a_l^\dagger a_l) + J(a_l^\dagger b_l^\dagger b_l a_l + b_l^\dagger a_l a_l^\dagger b_l) \n&= \frac{J}{4}(2a_l^\dagger a_l + 2b_l^\dagger b_l - a_l^\dagger a_l b_l^\dagger b_l - b_l^\dagger b_l a_l^\dagger a_l + 2a_l^\dagger b_l^\dagger b_l a_l + 2b_l^\dagger a_l a_l^\dagger b_l) \n&= \frac{J}{4}(2a_l^\dagger a_l + 2b_l^\dagger b_l - 2a_l^\dagger a_l b_l^\dagger b_l - 2b_l^\dagger b_l a_l^\dagger a_l) + J(2a_l^\dagger b_l^\dagger b_l a_l + 2b_l^\dagger a_l a_l^\dagger b_l) \n&= \frac{J}{2}(a_l^\dagger a_l + b_l^\dagger b_l - a_l^\dagger a_l b_l^\dagger b_l - b_l^\dagger b_l a_l^\dagger a_l + a_l^\dagger b_l^\dagger b_l a_l + b_l^\dagger a_l a_l^\dagger b_l) \n\end{aligned}\n$$\n\n我们可以看到，哈密顿量可以分为两部分，一部分只涉及到玻色子产生湮灭算符，另一部分涉及到玻色子产生湮灭算符和自旋角动量算符的乘积。我们将这两部分分别记为 $H_1$ 和 $H_2$：\n$$\nH_1 = \frac{J}{2}(a_l^\dagger a_l + b_l^\dagger b_l)\n$$\n$$\nH_2 = -\frac{J}{2}(a_l^\dagger a_l b_l^\dagger b_l + b_l^\dagger b_l a_l^\dagger a_l - a_l^\dagger b_l^\dagger b_l a_l - b_l^\dagger a_l a_l^\dagger b_l)\n$$\n\n接下来，我们需要计算 $H_2$ 的本征能量。根据给定的关系式，我们可以得到：\n$$\na_l \ket{n} = \sqrt{n} \ket{n-1}\n$$\na_l^\dagger \ket{n} = \sqrt{n+1} \ket{n+1}\n$$\nb_l \ket{n} = \sqrt{n} \ket{n-1}\n$$\nb_l^\dagger \ket{n} = \sqrt{n+1} \ket{n+1}\n$$\n\n代入 $H_2$ 中，我们可以得到：\n$$\n\begin{aligned}\nH_2 \ket{n} &= -\frac{J}{2}\left[a_l^\dagger a_l b_l^\dagger b_l + b_l^\dagger b_l a_l^\dagger a_l - a_l^\dagger b_l^\dagger b_l a_l - b_l^\dagger a_l a_l^\dagger b_l\right]\ket{n} \n&= -\frac{J}{2}\left[a_l^\dagger a_l b_l^\dagger b_l + b_l^\dagger b_l a_l^\dagger a_l - a_l^\dagger b_l^\dagger b_l a_l - b_l^\dagger a_l a_l^\dagger b_l\right]\sqrt{n}\ket{n-1} \n&= -\frac{J}{2}\left[n b_l^\dagger b_l - n a_l^\dagger a_l - \sqrt{n(n-1)} b_l^\dagger a_l - \sqrt{n(n+1)} a_l^\dagger b_l\right]\ket{n-1} \n\end{aligned}\n$$\n\n我们可以看到，$H_2$ 的本征能量为 $-Jn$，即 $E_n = -Jn$。这是因为 $H_2$ 的本征态受到了玻色子数的影响，而玻色子数的期望值为 $n$。\n\n接下来，我们考虑 $H_1$ 的本征能量。由于 $H_1$ 中只涉及到玻色子产生湮灭算符，它的本征能量与玻色子的数目无关。我们可以将其简化为：\n$$\n\begin{aligned}\nH_1 \ket{n} &= \frac{J}{2}(a_l^\dagger a_l + b_l^\dagger b_l)\ket{n} \n&= \frac{J}{2}(n + n)\ket{n} \n&= Jn\ket{n} \n\end{aligned}\n$$\n\n因此，$H_1$ 的本征能量为 $Jn$，即 $E_n = Jn$。这是因为 $H_1$ 与玻色子数有直接的线性关系。\n\n综上所述，铁磁体的低能单点激发能量为 $E_n = Jn - Jn = 0$。这意味着铁磁体的低能激发是无能隙的，其能量为零。