z=x^4+y^4-4*x*y+1 的极值和极值点 - 详细解析

首先，我们计算该函数的一阶偏导数：\n\n∂z/∂x = 4x^3 - 4y\n∂z/∂y = 4y^3 - 4x\n\n然后，我们令一阶偏导数等于0，求出临界点：\n\n4x^3 - 4y = 0 --> x^3 - y = 0 --> (x^3)^2 - y^2 = 0 --> (x^3 + y)(x^3 - y) = 0\n4y^3 - 4x = 0 --> y^3 - x = 0 --> (y^3)^2 - x^2 = 0 --> (y^3 + x)(y^3 - x) = 0\n\n解方程组：\n\nx^3 + y = 0\ny^3 + x = 0\n\n通过解方程组，我们得到以下可能的极值点：\n(0, 0)\n(1, -1)\n(-1, 1)\n\n接下来，我们计算二阶偏导数：\n\n∂²z/∂x² = 12x^2\n∂²z/∂y² = 12y^2\n∂²z/∂x∂y = -4\n\n将极值点代入二阶偏导数的表达式中，得到以下结果：\n\n(0, 0)：∂²z/∂x² = 0，∂²z/∂y² = 0，∂²z/∂x∂y = -4\n(1, -1)：∂²z/∂x² = 12，∂²z/∂y² = 12，∂²z/∂x∂y = -4\n(-1, 1)：∂²z/∂x² = 12，∂²z/∂y² = 12，∂²z/∂x∂y = -4\n\n根据二阶偏导数的结果，我们可以判断极值点的类型：\n\n(0, 0)：二阶偏导数未定，无法判断\n(1, -1)：二阶偏导数为正，是极小值点\n(-1, 1)：二阶偏导数为正，是极小值点\n\n综上所述，该函数的极值点为(0, 0)，极值类型为极小值点。